本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
有界単調数列の収束性
上に有界な単調増加実数列$(a_{n})_{n\in\mN}$は収束し，極限は
\begin{align}
\lim_{n\rarr\infty}a_{n} &= \sup\left\{a_{n}\mid n\in\mN\right\}\label{主題1}
\end{align}
\lim_{n\rarr\infty}a_{n} &= \sup\left\{a_{n}\mid n\in\mN\right\}\label{主題1}
\end{align}
となる。同様に，下に有界な単調減少実数列$(a_{n})_{n\in\mN}$は収束し，極限は
\begin{align}
\lim_{n\rarr\infty}a_{n} &= \inf\left\{a_{n}\mid n\in\mN\right\}\label{主題2}
\end{align}
\lim_{n\rarr\infty}a_{n} &= \inf\left\{a_{n}\mid n\in\mN\right\}\label{主題2}
\end{align}
となる。
単調収束定理とよばれることもあります。
証明
数列$a_{n}$全体の集合$A$は上に有界であることから，ワイヤストラスの公理より$A$の上限$s$が存在します。上限は上界でもあることに注意すると，上界の定義より，すべての$n\in\mN$に対して
\begin{align}
a_{n} \leq s\label{1}
\end{align}
a_{n} \leq s\label{1}
\end{align}
が成り立ちます。ここで，上限の必要十分条件より，任意の$\varepsilon >0$に対して
\begin{align}
s-\varepsilon < a_{n_{0}}\label{2}
\end{align}
s-\varepsilon < a_{n_{0}}\label{2}
\end{align}
となる$n_{0}\in\mN$が存在します。ここで，$a_{n}$は単調増加数列の要素でしたので，
\begin{align}
a_{n_{0}} \leq a_{n}\label{3}
\end{align}
a_{n_{0}} \leq a_{n}\label{3}
\end{align}
をみたす$n_{0}\leq n$が存在します。式($\ref{1}$)，式($\ref{2}$)，式($\ref{3}$)と$\varepsilon>0$より，
\begin{align}
s-\varepsilon < a_{n_{0}} \leq a_{n} \leq s < s+\varepsilon
\end{align}
s-\varepsilon < a_{n_{0}} \leq a_{n} \leq s < s+\varepsilon
\end{align}
が成り立ちます。これを整理すると，
\begin{align}
|a_{n}-s| < \varepsilon
\end{align}
|a_{n}-s| < \varepsilon
\end{align}
が得られます。したがって，数列の収束の定義から，
\begin{align}
s &= \lim_{n\rarr\infty}a_{n}
\end{align}
s &= \lim_{n\rarr\infty}a_{n}
\end{align}
が成り立ちますので，式($\ref{主題1}$)が導かれます。式($\ref{主題2}$)もまったく同様に示すことができます。
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