本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
フェルマーの小定理
素数$p$と$p$と互いに素な正の整数$a$に対し，以下が成り立つ。
\begin{align}
a^{p-1}\equiv 1\pmod p
\end{align}
a^{p-1}\equiv 1\pmod p
\end{align}
フェルマーの最終定理と区別するために，フェルマーの小定理という名前が付けられています。また，フェルマーの小定理はフェルマー自身によって証明されたわけではなく，ライプニッツによって証明されました。
証明
オイラーの定理において$m$が素数$p$である場合を考えます。オイラー関数の性質より，
\begin{align}
\varphi(p) &= p\left(1-\frac{1}{p}\right) = p-1
\end{align}
\varphi(p) &= p\left(1-\frac{1}{p}\right) = p-1
\end{align}
となります。したがって，上の定理が導かれます。
素数の定義より$\varphi(p)=p-1$は自明ともいえます。
参考文献
本稿の執筆にあたり参考にした文献は，以下でリストアップしております。
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