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目次
F分布の対称性
$X\sim F(p,q)$のとき，$X^{-1}\sim F(q,p)$である。
主にF検定を用いる際に注意が必要な性質です。
証明
F分布の定義は，$U\sim\chi^2(p)$，$V\sim\chi^2(q)$に対し
\begin{align}
X &= \frac{U/p}{V/q}
\end{align}
X &= \frac{U/p}{V/q}
\end{align}
が従う分布でした。したがって，
\begin{align}
X^{-1} &= \frac{V/q}{U/p}
\end{align}
X^{-1} &= \frac{V/q}{U/p}
\end{align}
はF分布の定義において$p$と$q$を置き換えた分布に一致します。すなわち，
\begin{align}
X^{-1} &\sim F (q,~p)
\end{align}
X^{-1} &\sim F (q,~p)
\end{align}
が示されました。
以上の証明は「F分布の定義より明らか」とされることが多いです。
参考文献
本稿の執筆にあたり参考にした文献は，以下でリストアップしております。
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