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目次
ベータ分布と二項分布の関係性
ベータ分布の上側確率は，二項分布の累積質量関数と等しくなる。
\begin{align}
\int_{p}^{1}\frac{z^{k-1}(1-z)^{n-k}}{B(k,n-k+1)}dz
&= \sum_{x=0}^{k-1} {}_n C_{x}p^x (1-p)^{n-x}
\end{align}
\int_{p}^{1}\frac{z^{k-1}(1-z)^{n-k}}{B(k,n-k+1)}dz
&= \sum_{x=0}^{k-1} {}_n C_{x}p^x (1-p)^{n-x}
\end{align}
ただし，$B(\cdot, \cdot)$はベータ関数を表す。
\begin{align}
B(a+1, b+1) &= \int_{0}^{1}\mu^a (1-\mu)^b d\mu
\end{align}
B(a+1, b+1) &= \int_{0}^{1}\mu^a (1-\mu)^b d\mu
\end{align}
証明
ガンマ分布とポアソン過程の関係性を証明したときと同様に，部分積分を用いて示すことができます。
\begin{align}
\int_{p}^{1}\frac{z^{k-1}(1-z)^{n-k}}{B(k,n-k+1)}dz &= \left[\frac{-1}{n-k+1}\frac{z^{k-1}(1-z)^{n-k+1}}{B(k, n-k+1)} \right]_{p}^{1}\notag\\[0.7em]
&\quad\quad+\frac{k-1}{n-k+1} \int_{p}^{1}\frac{z^{k-2}(1-z)^{n-k+1}}{B(k, n-k+1)} dz \label{1}\\[0.7em]
&= \frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!} p^{k-1}(1-p)^{n-k+1}\notag\\[0.7em]
&\quad\quad+\frac{(k-1)}{(n-k+1)}\cdot \frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(k)\Gamma(n-k+1)} \int_{p}^{1} z^{k-2}(1-z)^{n-k+1}dz \label{2}\\[0.7em]
&= {}_n C_{n-k}\; p^{k-1}(1-p)^{n-k+1}\notag\\[0.7em]
&\quad\quad+ \frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(k-1)\Gamma(n-k+2)}
\int_{p}^{1} z^{k-2}(1-z)^{n-k+1}dz \label{3}\\[0.7em]
&= {}_n C_{n-k}\;p^{k-1}(1-p)^{n-k+1}+\int_{p}^{1}\frac{z^{k-2}(1-z)^{n-k+1}}{B(k-1, n-k+2)}dz\label{4}
\end{align}
\int_{p}^{1}\frac{z^{k-1}(1-z)^{n-k}}{B(k,n-k+1)}dz &= \left[\frac{-1}{n-k+1}\frac{z^{k-1}(1-z)^{n-k+1}}{B(k, n-k+1)} \right]_{p}^{1}\notag\\[0.7em]
&\quad\quad+\frac{k-1}{n-k+1} \int_{p}^{1}\frac{z^{k-2}(1-z)^{n-k+1}}{B(k, n-k+1)} dz \label{1}\\[0.7em]
&= \frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!} p^{k-1}(1-p)^{n-k+1}\notag\\[0.7em]
&\quad\quad+\frac{(k-1)}{(n-k+1)}\cdot \frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(k)\Gamma(n-k+1)} \int_{p}^{1} z^{k-2}(1-z)^{n-k+1}dz \label{2}\\[0.7em]
&= {}_n C_{n-k}\; p^{k-1}(1-p)^{n-k+1}\notag\\[0.7em]
&\quad\quad+ \frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(k-1)\Gamma(n-k+2)}
\int_{p}^{1} z^{k-2}(1-z)^{n-k+1}dz \label{3}\\[0.7em]
&= {}_n C_{n-k}\;p^{k-1}(1-p)^{n-k+1}+\int_{p}^{1}\frac{z^{k-2}(1-z)^{n-k+1}}{B(k-1, n-k+2)}dz\label{4}
\end{align}
ただし，式($\ref{1}$)から式($\ref{2}$)は整数$n$に対する以下の関係式を用い，
\begin{align}
\Gamma(n+1) &= n!
\end{align}
\Gamma(n+1) &= n!
\end{align}
式($\ref{2}$)から式($\ref{3}$)は実数$x$に対する以下の関係性を用い，
\begin{align}
\Gamma(x+1) &= x\Gamma(x)
\end{align}
\Gamma(x+1) &= x\Gamma(x)
\end{align}
式($\ref{3}$)から式($\ref{4}$)はガンマ関数とベータ関数の関係性を用いました。この操作を次々適用していくことで，最終的に以下を得ます。
\begin{align}
\int_{p}^{1}\frac{z^{k-1}(1-z)^{n-k}}{B(k,n-k+1)}dz
&= \sum_{x=0}^{k-1} {}_n C_{x}p^x (1-p)^{n-x}
\end{align}
\int_{p}^{1}\frac{z^{k-1}(1-z)^{n-k}}{B(k,n-k+1)}dz
&= \sum_{x=0}^{k-1} {}_n C_{x}p^x (1-p)^{n-x}
\end{align}
参考文献
本稿の執筆にあたり参考にした文献は，以下でリストアップしております。
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