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目次
確率の性質
確率$P(\cdot)$は以下を満たす。
- 空事象$\phi$に対して\begin{align}
P(\phi) &= 0
\end{align} - $A_1, \ldots, A_n$が互いに排反な事象ならば\begin{align}
P(A_i \cup \cdots \cup A_n) &= P(A_1) + \cdots + P(A_n)
\end{align} - 任意の事象$A$に対して\begin{align}
P(A^c) &= 1-P(A)
\end{align} - 任意の事象$A$と$B$に対して\begin{align}
P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
\end{align}
ただし，$A^c$は$A$が起きないという事象を表す。
上で挙げていることは全て定理です。私自身，統計学を学び始める前までは，恥ずかしながらこれらの定理を確率の定義だと思っていました。
証明
以下では4つの命題に関してそれぞれ証明をしていきます。
1. の証明
空事象$\phi$は互いに排反です。なぜなら，排反の定義は$P(A \cap B)=\phi$であるからで，空事象同士に適用すると$P(\phi \cap \phi)=\phi$となるからです。すると，確率の定義より，
\begin{align}
P(\phi) &= P(\phi \cup \phi \cup \cdots) \\[0.7em]
&= P(\phi) + P(\phi) + \cdots
\end{align}
P(\phi) &= P(\phi \cup \phi \cup \cdots) \\[0.7em]
&= P(\phi) + P(\phi) + \cdots
\end{align}
となります。この式は，$P(\phi)=0$でなければ成り立ちません。したがって，$P(\phi)=0$です。
2. の証明
これは確率の定義そのままですね。定義式では和の上限はないのですが，今回の性質では$n$個目の事象までを考えています。どうすれば無限遠方と$n$個目のギャップを埋められるかというと，空集合を利用すればいいのです。つまり，$(n+1 \leq i)$なる$i$に対して$A_{i}=\phi$と定めれば，先ほど証明した通り$P(\phi)=0$ですので，確率の定義式から確率の性質（$\ref{eq:2}$）を導出できます。
3. の証明
全事象を$\Omega$とすると
\begin{align}
1 &= P(\Omega) \\[0.7em]
&= P(A \cap A^c) \\[0.7em]
&= P(A) + P(A^c)
\end{align}
1 &= P(\Omega) \\[0.7em]
&= P(A \cap A^c) \\[0.7em]
&= P(A) + P(A^c)
\end{align}
であるため，$P(A^c)=1-P(A)$が成り立ちます。
4. の証明
ベン図をイメージして式変形していくことで証明できます。
\begin{align}
P(A \cup B) &= P(A) + P(A^c \cap B) \\[0.7em]
&= P(A) + { P(B) - P(A \cap B) } \\[0.7em]
&= P(A) + P(B) - P(A \cap B)
\end{align}
P(A \cup B) &= P(A) + P(A^c \cap B) \\[0.7em]
&= P(A) + { P(B) - P(A \cap B) } \\[0.7em]
&= P(A) + P(B) - P(A \cap B)
\end{align}
参考文献
本稿の執筆にあたり参考にした文献は，以下でリストアップしております。
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