本記事は「これなら分かる！はじめての数理統計学」シリーズに含まれます。
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目次
問題
Aさんは$1/4$の確率でスリーポイントを決めることができます。Aさんが$208$回スリーポイントシュートを打つとき，次の問いに答えなさい。ただし，解答の際には$\sqrt{39}=6.245$であることと以下の標準正規分布表を用いなさい。
- スリーポイントシュートが決まる回数$X$の平均と分散を求めなさい。
- $X$が$50$回以上$55$回以下である確率を半目盛り補正を利用して小数第3位まで求めなさい。
| Z | 0.00 | 0.01 | 0.02 | 0.03 | 0.04 | 0.05 | 0.06 | 0.07 | 0.08 | 0.09 |
| 0.0 | .0000 | .0040 | .0080 | .0120 | .0160 | .0199 | .0239 | .0279 | .0319 | .0359 |
| 0.1 | .0398 | .0438 | .0478 | .0517 | .0557 | .0596 | .0636 | .0675 | .0714 | .0753 |
| 0.2 | .0793 | .0832 | .0871 | .0910 | .0948 | .0987 | .1026 | .1064 | .1103 | .1141 |
| 0.3 | .1179 | .1217 | .1255 | .1293 | .1331 | .1368 | .1406 | .1443 | .1480 | .1517 |
| 0.4 | .1554 | .1591 | .1628 | .1664 | .1700 | .1736 | .1772 | .1808 | .1844 | .1879 |
| 0.5 | .1915 | .1950 | .1985 | .2019 | .2054 | .2088 | .2123 | .2157 | .2190 | .2224 |
| 0.6 | .2257 | .2291 | .2324 | .2357 | .2389 | .2422 | .2454 | .2486 | .2517 | .2549 |
| 0.7 | .2580 | .2611 | .2642 | .2673 | .2704 | .2734 | .2764 | .2794 | .2823 | .2852 |
| 0.8 | .2881 | .2910 | .2939 | .2967 | .2995 | .3023 | .3051 | .3078 | .3106 | .3133 |
| 0.9 | .3159 | .3186 | .3212 | .3238 | .3264 | .3289 | .3315 | .3340 | .3365 | .3389 |
解答
前半の問題は非常に簡単です。スリーポイントが「入るか・入らないか」という毎回の試行はベルヌーイ分布に従っていますので，平均は$np$，分散は$np(1-p)$として計算することができます。
\begin{align}
E[X] &= np \\[0.7em]
&= 208 \cdot \frac{1}{4} \\[0.7em]
&= 52 \\[0.7em]
V[X] &= np(1-p) \\[0.7em]
&= 208\cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} \\[0.7em]
&= 39
\end{align}
E[X] &= np \\[0.7em]
&= 208 \cdot \frac{1}{4} \\[0.7em]
&= 52 \\[0.7em]
V[X] &= np(1-p) \\[0.7em]
&= 208\cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} \\[0.7em]
&= 39
\end{align}
連続修正と半目盛り補正のページでお伝えしている通り，$n$が大きいときには以下の式を用いてベルヌーイ分布の正規分布による近似を半目盛りズラシて調整することができます。
$X_i(i=1\cdots n)$が期待値$p$，分散$p(1-p)$となるような分布に独立に従うとする。$Z=X_1 + X_2 + \cdots + X_n$に対して
\begin{align}
P(a \leq X \leq b) &\approx P\left( \frac{a - \frac{1}{2} - np}{\sqrt{np(1 - p)}} \leq z \leq \frac{a + \frac{1}{2} - np}{\sqrt{np(1 - p)}} \right)
\end{align}
P(a \leq X \leq b) &\approx P\left( \frac{a - \frac{1}{2} - np}{\sqrt{np(1 - p)}} \leq z \leq \frac{a + \frac{1}{2} - np}{\sqrt{np(1 - p)}} \right)
\end{align}
半目盛り補正の式にしたがって今回の問題の値を代入します。問題の標準正規分布表を参考にしましょう。
\begin{align}
P(a \leq X \leq b)
&\approx P\left( \frac{a - \frac{1}{2} - np}{\sqrt{np(1 - p)}} \leq z \leq \frac{a + \frac{1}{2} - np}{\sqrt{np(1 - p)}} \right) \\[0.7em]
&= P\left( \frac{50 - 0.5 - 52}{6.245} \leq z \leq \frac{55 + 0.5 - 52}{6.245} \right) \\[0.7em]
&\approx P\left( -0.40 \leq z \leq 0.56 \right) \\[0.7em]
&= P\left( 0 \leq z \leq 0.40 \right) + P\left( 0 \leq z \leq 0.56 \right) \\[0.7em]
&= 0.1772 + 0.2123 \\[0.7em]
&\approx 0.389
\end{align}
P(a \leq X \leq b)
&\approx P\left( \frac{a - \frac{1}{2} - np}{\sqrt{np(1 - p)}} \leq z \leq \frac{a + \frac{1}{2} - np}{\sqrt{np(1 - p)}} \right) \\[0.7em]
&= P\left( \frac{50 - 0.5 - 52}{6.245} \leq z \leq \frac{55 + 0.5 - 52}{6.245} \right) \\[0.7em]
&\approx P\left( -0.40 \leq z \leq 0.56 \right) \\[0.7em]
&= P\left( 0 \leq z \leq 0.40 \right) + P\left( 0 \leq z \leq 0.56 \right) \\[0.7em]
&= 0.1772 + 0.2123 \\[0.7em]
&\approx 0.389
\end{align}
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