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原点・平均まわりの二次モーメントと三次モーメント
原点まわりの二次モーメントと平均まわりの二次モーメントは
\begin{cases}
\displaystyle
E[\barX^{2}] = \frac{\mu_{2}^{\prime}+(n-1)\mu^{2}}{n}\\[0.7em]
\displaystyle
E[(\barX-\mu)^{2}] = \frac{\mu_{2}^{\prime}-\mu^{2}}{n}
\end{cases}
と表され，原点まわりの三次モーメントと平均まわり三次モーメントは
\begin{cases}
\displaystyle
E[\barX^{3}] = \frac{\mu_{3}^{\prime}+3(n{-}1)\mu_{2}^{\prime}\mu+(n{-}1)(n{-}2)\mu^{3}}{n^{2}}\\[0.7em]
\displaystyle
E[(\barX-\mu)^{3}] = \frac{\mu_{3}^{\prime}-3\mu_{2}^{\prime}\mu+2\mu^{3}}{n^{2}}
\end{cases}
と表される。ただし，$\mu_{n}^{\prime}=E[X^{n}]$である。
$X_{1},\ldots,X_{n}$は独立とは限りません。$X_{1},\ldots,X_{n}$が独立の場合の結果は補足に記載します。
証明
$E[\barX^{2}]$については，
E[\barX^{2}]
&= \frac{1}{n^{2}}E\left[\left(\sum_{i=1}^{n}X_{i}\right)^{2}\right]\\[0.7em]
&= \frac{1}{n^{2}}\left\{E\left[\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}\right]+2E\left[\sum_{i<j}^{n}X_{i}X_{j}\right]\right\}\\[0.7em]
&= \frac{{}_nC_{1}~\mu_{2}^{\prime}+2{}_nC_{2}~\mu^{2}}{n^{2}} = \frac{\mu_{2}^{\prime}+(n-1)\mu^{2}}{n}
\end{align}
と求められます。ただし，$i{<}j$なる$(i,j)$の選び方は，$2$つの$(X_{1}{+}{\cdots}{+}X_{n})$から$i$と$j$の選び方として$(i,j)$,$(j,i)$の$2$通り，数字の選び方として${}_nC_{2}$通り，選んだ数字の$(i,j)$への当てはめ方として$X_{i}{<}X_{j}$を満たす$1$通りとなっています。次に，$Y_{i}{=}X_{i}{-}\mu$とおきます。
E[Y_{i}^{2}] &= \mu_{2}^{\prime}-2\mu \mu_{1}^{\prime}+\mu^{2} = \mu_{2}^{\prime}-\mu^{2}
\end{align}
および$E[Y_{i}Y_{j}]{=}E[Y_{i}]E[Y_{j}]{=}0$より，
E[(\barX-\mu)^{2}]
&= E\left[\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\mu)\right)^{2}\right]\\[0.7em]
&= \frac{1}{n^{2}}E\left[\left(\sum_{i=1}^{n}Y_{i}\right)^{2}\right]\\[0.7em]
&= \frac{1}{n^{2}}\left\{E\left[\sum_{i=1}^{n}Y_{i}^{2}\right]+2E\left[\sum_{i<j}^{n}Y_{i}Y_{j}\right]\right\}\\[0.7em]
&= \frac{n(\mu_{2}^{\prime}-\mu^{2})}{n^{2}}
= \frac{\mu_{2}^{\prime}-\mu^{2}}{n}
\end{align}
と求められます。$E[\barX^{3}]$については，
E[\barX^{3}]
&{=} \frac{1}{n^{3}}E\left[\left(\sum_{i=1}^{n}X_{i}\right)^{3}\right]\\[0.7em]
&{=} \frac{1}{n^{3}}\left\{E\left[\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{3}\right]+3E\left[\sum_{i\neq j}^{n}X_{i}^{2}X_{j}\right]+6E\left[\sum_{i<j<k}^{n}X_{i}X_{j}X_{k}\right]\right\}\\[0.7em]
&{=} \frac{{}_nC_{1}~\mu_{3}^{\prime}+6{}_nC_{2}~\mu_{2}^{\prime}\mu+6{}_nC_{3}~\mu^{3}}{n^{3}}
{=} \frac{\mu_{3}^{\prime}+3(n-1)\mu_{2}^{\prime}\mu+(n-1)(n-2)\mu^{3}}{n^{2}}
\end{align}
と求められます。ただし，$i{\neq}j$なる$(i,j)$の選び方は，$3$つの$(X_{1}{+}{\cdots}{+}X_{n})$から$i$と$j$の選び方として$(i,i,j)$,$(i,j,i)$,$(j,i,i)$の$3$通り，数字の選び方として${}_nC_{2}$通り，選んだ数字の$(i,j)$への当てはめ方として$2$通りとなっています。同様に，$i<j<k$なる$(i,j,k)$の選び方は，$3$つの$(X_{1}{+}{\cdots}{+}X_{n})$から$i$と$j$と$k$の選び方として$(i,j,k)$,$(i,k,j)$,$(j,i,k)$,$(j,k,i)$,$(k,i,j)$,$(k,j,i)$の$6$通り，数字の選び方として${}_nC_{3}$通り，選んだ数字の$(i,j,k)$への当てはめ方として$X_{i}{<}X_{j}{<}X_{j}$を満たす$1$通りとなっています。次に，$Y_{i}{=}X_{i}{-}\mu$とおきます。
E[Y_{i}^{3}]
&= \mu_{3}^{\prime}-3\mu_{2}^{\prime}\mu+3\mu_{1}^{\prime}\mu^{2}-\mu^{3}
= \mu_{3}^{\prime}-3\mu_{2}^{\prime}\mu+2\mu^{3}
\end{align}
および$E[Y_{i}^{2}Y_{j}]{=}E[Y_{i}^{2}]E[Y_{j}]{=}0$および$E[Y_{i}Y_{j}Y_{k}]{=}E[Y_{i}]E[Y_{j}]E[Y_{k}]{=}0$より，
E[(\barX-\mu)^{3}]
&= E\left[\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\mu)\right)^{3}\right]\\[0.7em]
&= \frac{1}{n^{3}}E\left[\left(\sum_{i=1}^{n}Y_{i}\right)^{2}\right]\\[0.7em]
&= \frac{1}{n^{3}}\left\{E\left[\sum_{i=1}^{n}Y_{i}^{3}\right]+3E\left[\sum_{i\neq j}^{n}Y_{i}^{2}Y_{j}\right]+6E\left[\sum_{i<j<k}^{n}Y_{i}Y_{j}Y_{k}\right]\right\}\\[0.7em]
&= \frac{n(\mu_{3}^{\prime}-3\mu_{2}^{\prime}\mu+2\mu^{3})}{n^{3}}
= \frac{\mu_{3}^{\prime}-3\mu_{2}^{\prime}\mu+2\mu^{3}}{n^{2}}
\end{align}
と求められます。
補足
$X_{1},\ldots,X_{n}$が独立の場合は$E[Y_{i}]=0$かつ$i\neq j$に対し$E[Y_{i}Y_{j}]=E[Y_{i}]E[Y_{j}]=0$となりますので，平均まわり三次モーメントは
E[(\barX-\mu)^{2}] = \frac{\mu_{2}^{\prime}}{n}
\end{align}
と表され，原点まわりの三次モーメントと平均まわり三次モーメントは
E[(\barX-\mu)^{3}] = \frac{\mu_{3}^{\prime}}{n^{2}}
\end{align}
と表されます。
参考文献
本稿の執筆にあたり参考にした文献は，以下でリストアップしております。
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