【徹底解説】原点・平均まわりの二次モーメントと三次モーメント

2024年1月25日

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原点・平均まわりの二次モーメントと三次モーメント
証明
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参考文献

原点・平均まわりの二次モーメントと三次モーメント

原点まわりの二次モーメントと平均まわりの二次モーメントは

$\begin{matrix} (1) & {\begin{cases} E [{\bar{X}}^{2}] = \frac{μ_{2}^{'} + (n - 1) μ^{2}}{n} \\ E [(\bar{X} - μ)^{2}] = \frac{μ_{2}^{'} - μ^{2}}{n} \end{cases} \end{matrix}$

と表され，原点まわりの三次モーメントと平均まわり三次モーメントは

$\begin{matrix} (2) & {\begin{cases} E [{\bar{X}}^{3}] = \frac{μ_{3}^{'} + 3 (n - 1) μ_{2}^{'} μ + (n - 1) (n - 2) μ^{3}}{n^{2}} \\ E [(\bar{X} - μ)^{3}] = \frac{μ_{3}^{'} - 3 μ_{2}^{'} μ + 2 μ^{3}}{n^{2}} \end{cases} \end{matrix}$

と表される。ただし， $μ_{n}^{'} = E [X^{n}]$ である。

$X_{1}, \dots, X_{n}$ は独立とは限りません。 $X_{1}, \dots, X_{n}$ が独立の場合の結果は補足に記載します。

証明

$E [{\bar{X}}^{2}]$ については，

\begin{aligned} (3) & E [{\bar{X}}^{2}] & = \frac{1}{n^{2}} E [{(\sum_{i = 1}^{n} X_{i})}^{2}] \\ (4) & = \frac{1}{n^{2}} {E [\sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{2}] + 2 E [\sum_{i < j}^{n} X_{i} X_{j}]} \\ (5) & = \frac{_{n} C_{1} μ_{2}^{'} + 2_{n} C_{2} μ^{2}}{n^{2}} = \frac{μ_{2}^{'} + (n - 1) μ^{2}}{n} \end{aligned}

と求められます。ただし， $i < j$ なる $(i, j)$ の選び方は， $2$ つの $(X_{1} + \dots + X_{n})$ から $i$ と $j$ の選び方として $(i, j)$ , $(j, i)$ の $2$ 通り，数字の選び方として $_{n} C_{2}$ 通り，選んだ数字の $(i, j)$ への当てはめ方として $X_{i} < X_{j}$ を満たす $1$ 通りとなっています。次に， $Y_{i} = X_{i} - μ$ とおきます。

\begin{aligned} (6) & E [Y_{i}^{2}] & = μ_{2}^{'} - 2 μ μ_{1}^{'} + μ^{2} = μ_{2}^{'} - μ^{2} \end{aligned}

および $E [Y_{i} Y_{j}] = E [Y_{i}] E [Y_{j}] = 0$ より，

\begin{aligned} (7) & E [(\bar{X} - μ)^{2}] & = E [{(\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - μ))}^{2}] \\ (8) & = \frac{1}{n^{2}} E [{(\sum_{i = 1}^{n} Y_{i})}^{2}] \\ (9) & = \frac{1}{n^{2}} {E [\sum_{i = 1}^{n} Y_{i}^{2}] + 2 E [\sum_{i < j}^{n} Y_{i} Y_{j}]} \\ (10) & = \frac{n (μ_{2}^{'} - μ^{2})}{n^{2}} = \frac{μ_{2}^{'} - μ^{2}}{n} \end{aligned}

と求められます。 $E [{\bar{X}}^{3}]$ については，

\begin{aligned} (11) & E [{\bar{X}}^{3}] & = \frac{1}{n^{3}} E [{(\sum_{i = 1}^{n} X_{i})}^{3}] \\ (12) & = \frac{1}{n^{3}} {E [\sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{3}] + 3 E [\sum_{i \neq j}^{n} X_{i}^{2} X_{j}] + 6 E [\sum_{i < j < k}^{n} X_{i} X_{j} X_{k}]} \\ (13) & = \frac{_{n} C_{1} μ_{3}^{'} + 6_{n} C_{2} μ_{2}^{'} μ + 6_{n} C_{3} μ^{3}}{n^{3}} = \frac{μ_{3}^{'} + 3 (n - 1) μ_{2}^{'} μ + (n - 1) (n - 2) μ^{3}}{n^{2}} \end{aligned}

と求められます。ただし， $i \neq j$ なる $(i, j)$ の選び方は， $3$ つの $(X_{1} + \dots + X_{n})$ から $i$ と $j$ の選び方として $(i, i, j)$ , $(i, j, i)$ , $(j, i, i)$ の $3$ 通り，数字の選び方として $_{n} C_{2}$ 通り，選んだ数字の $(i, j)$ への当てはめ方として $2$ 通りとなっています。同様に， $i < j < k$ なる $(i, j, k)$ の選び方は， $3$ つの $(X_{1} + \dots + X_{n})$ から $i$ と $j$ と $k$ の選び方として $(i, j, k)$ , $(i, k, j)$ , $(j, i, k)$ , $(j, k, i)$ , $(k, i, j)$ , $(k, j, i)$ の $6$ 通り，数字の選び方として $_{n} C_{3}$ 通り，選んだ数字の $(i, j, k)$ への当てはめ方として $X_{i} < X_{j} < X_{j}$ を満たす $1$ 通りとなっています。次に， $Y_{i} = X_{i} - μ$ とおきます。

\begin{aligned} (14) & E [Y_{i}^{3}] & = μ_{3}^{'} - 3 μ_{2}^{'} μ + 3 μ_{1}^{'} μ^{2} - μ^{3} = μ_{3}^{'} - 3 μ_{2}^{'} μ + 2 μ^{3} \end{aligned}

および $E [Y_{i}^{2} Y_{j}] = E [Y_{i}^{2}] E [Y_{j}] = 0$ および $E [Y_{i} Y_{j} Y_{k}] = E [Y_{i}] E [Y_{j}] E [Y_{k}] = 0$ より，

\begin{aligned} (15) & E [(\bar{X} - μ)^{3}] & = E [{(\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - μ))}^{3}] \\ (16) & = \frac{1}{n^{3}} E [{(\sum_{i = 1}^{n} Y_{i})}^{2}] \\ (17) & = \frac{1}{n^{3}} {E [\sum_{i = 1}^{n} Y_{i}^{3}] + 3 E [\sum_{i \neq j}^{n} Y_{i}^{2} Y_{j}] + 6 E [\sum_{i < j < k}^{n} Y_{i} Y_{j} Y_{k}]} \\ (18) & = \frac{n (μ_{3}^{'} - 3 μ_{2}^{'} μ + 2 μ^{3})}{n^{3}} = \frac{μ_{3}^{'} - 3 μ_{2}^{'} μ + 2 μ^{3}}{n^{2}} \end{aligned}

と求められます。

補足

$X_{1}, \dots, X_{n}$ が独立の場合は $E [Y_{i}] = 0$ かつ $i \neq j$ に対し $E [Y_{i} Y_{j}] = E [Y_{i}] E [Y_{j}] = 0$ となりますので，平均まわり三次モーメントは

\begin{array}{r} (19) & E [(\bar{X} - μ)^{2}] = \frac{μ_{2}^{'}}{n} \end{array}

と表され，原点まわりの三次モーメントと平均まわり三次モーメントは

\begin{array}{r} (20) & E [(\bar{X} - μ)^{3}] = \frac{μ_{3}^{'}}{n^{2}} \end{array}

と表されます。

参考文献

本稿の執筆にあたり参考にした文献は，以下でリストアップしております。

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