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標本分散と不偏分散の分散
平均$\mu$，分散$\sigma^{2}$の母集団からの標本分散を$S^{2}$，不偏分散を$U^{2}$とすると，
\begin{cases}
\displaystyle
V[S^{2}] = \frac{(n-1)^{2}}{n^{3}}\left\{\mu_{4}-\frac{n-3}{n-1}\sigma^{4}\right\}\\[0.7em]
\displaystyle
V[U^{2}] = \frac{1}{n}\left\{\mu_{4}-\frac{n-3}{n-1}\sigma^{4}\right\}
\end{cases}
が成り立つ。
証明
$Y_{i}=X_{i}-\mu$とおきます。$V[S^{2}]=E[S^{4}]-E[S^{2}]^{2}$を利用するため，標本分散の定義を確認します。
E[S^{2}] &= \frac{n-1}{n}\sigma^{2}
\end{align}
次に，$E[S^{4}]$を計算します。
E[S^{4}]
&= \frac{1}{n^{2}}E\left[\left(\sum_{i=1}^{n}(Y_{i}-\barY)^{2}\right)^{2}\right]\\[0.7em]
&= \frac{1}{n^{2}}E\left[\left(\sum_{i=1}^{n}Y_{i}^{2}-2\barY\sum_{i=1}^{n}Y_{i}+n\barY^{2}\right)^{2}\right]\\[0.7em]
&= \frac{1}{n^{2}}E\left[\left(\sum_{i=1}^{n}Y_{i}^{2}-n\barY^{2}\right)^{2}\right]\\[0.7em]
&=
\frac{1}{n^{2}}E\left[\left(\sum_{i=1}^{n}Y_{i}^{2}\right)^{2}\right]
-\frac{2}{n}E\left[\left(\sum_{i=1}^{n}Y_{i}^{2}\barY^{2}\right)^{2}\right]
+E\left[\left(\sum_{i=1}^{n}\barY^{4}\right)\right]
\end{align}
第一項目に関して，$i=j$となる項が$n$個，$i\neq j$となる項が$n(n-1)$個出現するため，$V[Y_{i}^{4}]=\mu_{4}$と$V[Y_{i}^{2}]=\sigma^{2}$に注意すると，
\frac{1}{n^{2}}E\left[\left(\sum_{i=1}^{n}Y_{i}^{2}\right)^{2}\right]
&= \frac{1}{n^{2}}\left\{n\mu_{4}+n(n-1)\sigma^{4}\right\}
= \frac{1}{n}\left\{\mu_{4}+(n-1)\sigma^{4}\right\}
\end{align}
となります。第二項目に関して，$\barY^{2}=(\sum_{i} Y_{i})^{2}/n^{2}$となり，$E[Y_{i}]=0$に注意すると，第一項目と同様に$i=j$となる項が$n$個，$i\neq j$となる項が$n(n-1)$個だけが非ゼロの値として残るため，
\frac{2}{n}E\left[\left(\sum_{i=1}^{n}Y_{i}^{2}\barY^{2}\right)^{2}\right]
&= \frac{2}{n^{3}}\left(n\mu_{4}+n(n-1)\sigma^{4}\right)
= \frac{2}{n^{2}}\left\{\mu_{4}+(n-1)\sigma^{4}\right\}
\end{align}
となります。第三項目に関して，第二項目と同様に$E[Y_{i}]=0$に注意すると，$i=j=k=l$のうち添え字が全て同じ項と，$2$つずつペアになる項だけが非ゼロの値として残ります。前者は$n$個の選び方があります。後者は$2$つずつのペアを決めるには片方を一意に決めればよく，$(i,j),(i,k),(i,l)$の$3$個の選び方があります。また，それぞれの添え字について$n(n-1)$個の番号の選び方があります。したがって，後者の項は$3n(n-1)$個出現します。
後者に関して，例えば$(j,k)$もペアの一つではないかと思われる方もおられるでしょう。$(j,k)$は$(i,l)$のペアを選んだ時点で自動的に定められているペアですので，選び方に加えてしまうと重複して数えていることになります。
したがって，第三項目は
E\left[\left(\sum_{i=1}^{n}\barY^{4}\right)\right]
&= \frac{1}{n^{4}}\left\{n\mu_{4}+3n(n-1)\sigma^{4}\right\}
= \frac{1}{n^{3}}\left\{\mu_{4}+3(n-1)\sigma^{4}\right\}
\end{align}
となります。以上より，
E[S^{4}]
&= \frac{1}{n}\left\{\mu_{4}+(n-1)\sigma^{4}\right\}-\frac{2}{n^{2}}\left\{\mu_{4}+(n-1)\sigma^{4}\right\}+\frac{1}{n^{3}}\left\{\mu_{4}+3(n-1)\sigma^{4}\right\}\\[0.7em]
&= \frac{n^{2}-2n+1}{n^{3}}\mu_{4}+\frac{n-1}{n^{3}}(n^{2}-2n+3)\sigma^{4}\\[0.7em]
&= \frac{(n-1)^{2}}{n^{3}}\mu_{4}+\frac{n-1}{n^{3}}(n^{2}-2n+3)\sigma^{4}
\end{align}
となります。したがって，
V[S^{2}]
&= E[S^{4}]-E[S^{2}]^{2}\\[0.7em]
&= \frac{(n-1)^{2}}{n^{3}}\mu_{4}+\frac{n-1}{n^{3}}(n^{2}-2n+3)\sigma^{4}-\frac{(n-1)^{2}}{n^{2}}\sigma^{4}\\[0.7em]
&= \frac{(n-1)^{2}}{n^{3}}\mu_{4}+\frac{n-1}{n^{3}}(n^{2}-2n+3-n(n-1))\sigma^{4}\\[0.7em]
&= \frac{(n-1)^{2}}{n^{3}}\mu_{4}-\frac{n-1}{n^{3}}(n-3)\sigma^{4}\\[0.7em]
&= \frac{(n-1)^{2}}{n^{3}}\left\{\mu_{4}-\frac{n-3}{n-1}\sigma^{4}\right\}
\end{align}
となります。$V[U^{2}]$も同様にして導出できます。差分は$E[U^{4}]$で$1/(n{-}1)^{2}$が括り出される部分と$E[U^{2}]{=}\sigma^{2}$となる部分のみですが，不偏分散と標本分散の関係より$U^{2}{=}n/(n{-}1)S^{2}$であることを踏まえると，
V[U^{2}]
&= \frac{n^{2}}{(n-1)^{2}}V[S^{2}] = \frac{1}{n}\left\{\mu_{4}-\frac{n-3}{n-1}\sigma^{4}\right\}
\end{align}
となります。
$V[U^{2}]$を求めてから$V[S^{2}]$を求めてもよいです。
参考文献
本稿の執筆にあたり参考にした文献は，以下でリストアップしております。
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