統計検定1級の過去問解答解説を行います。目次は以下をご覧ください。
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問題
統計検定1級の過去問からの出題になります。統計検定の問題の著作権は日本統計学会に帰属していますので，本稿にて記載することはできません。「演習問題を俯瞰する」で詳しく紹介している公式の過去問題集をご購入いただきますようお願い致します。
解答
指数分布とモーメント母関数に関する出題でした。
(1)
E[X] &= \frac{1}{\lambda}
\end{align}
期待値の定義より，
E[X]
&= \int_{0}^{\infty}x\lambda e^{-\lambda x}dx
= \lambda\left[-x\frac{1}{\lambda}e^{-\lambda x}\right]_{0}^{\infty}+\int_{0}^{\infty} e^{-\lambda x}dx
= \left[-\frac{1}{\lambda}e^{-\lambda x}\right]_{0}^{\infty} = \frac{1}{\lambda}
\end{align}
が得られます。
(2)
$t<\lambda$に対し，
M_{X}(t) &= \frac{\lambda}{\lambda-t}
\end{align}
となる。
モーメント母関数の定義より，
M_{X}(t)
&= \int_{0}^{\infty}e^{tx}\lambda e^{-\lambda x}dx
= \int_{0}^{\infty}\lambda e^{(t-\lambda) x}dx\label{2-1}
\end{align}
となります。式($\ref{2-1}$)の収束条件より，$t-\lambda<0$のとき
M_{X}(t)
&= \left[\frac{\lambda}{t-\lambda}e^{(t-\lambda) x}\right]_{0}^{\infty}
= \frac{\lambda}{\lambda-t}
\end{align}
が得られます。$t-\lambda\geq 0$のとき，$M_{X}(t)$は発散して存在しません。
補足
本問で得られたモーメント母関数とモーメント母関数の性質より，
E[X]
&= M^{\prime}(0)
= \frac{\lambda}{(\lambda-t)^{2}}\biggr|_{t=0} = \frac{1}{\lambda}
\end{align}
と検算できます。
(3)
$X_{W}$のモーメント母関数は，
M_{X_{W}}(t)
&= \frac{1}{M_{X}(h)}\int_{0}^{\infty}e^{tx}e^{hx}f(x)dx\\[0.7em]
&= \frac{1}{M_{X}(h)}\int_{0}^{\infty}e^{(h+t)x}f(x)dx\\[0.7em]
&= \frac{1}{M_{X}(h)}M_{X}(h+t)\\[0.7em]
&= \frac{\lambda-h}{\lambda}\frac{\lambda}{\lambda-(h+t)}
= \frac{\lambda-h}{\lambda-h-t}
\end{align}
となる。したがって，モーメント母関数の性質より
E[X_{W}]
&= M_{X_{W}}^{\prime}(t)
= \frac{\lambda-h}{(\lambda-h-t)^{2}}\biggr|_{t=0}
= \frac{1}{\lambda-h}
\end{align}
が得られる。したがって，$h>0$より
E[X_{W}]-E[X] &= \frac{1}{\lambda-h}-\frac{1}{\lambda} > \frac{1}{\lambda}-\frac{1}{\lambda} = 0
\end{align}
となるため，$E[X_{W}]>E[X]$が得られる。
(4)
小問(3)の計算過程より，一般の$f(x)$に対して
M_{X_{W}}(t)
&= \frac{M_{X}(h+t)}{M_{X}(h)}
\end{align}
となる。したがって，モーメント母関数の性質より
E[X_{W}^{r}] &= M_{X_{W}}^{(r)}(0) = \frac{M_{X}^{(r)}(h+t)}{M_{X}(h)}\biggr|_{t=0} = \frac{M_{X}^{(r)}(h)}{M_{X}(h)}
\end{align}
が得られる。
(5)
小問(4)の結果を用いて，
E[X_{W}] &= \frac{M_{X}^{(1)}(h)}{M_{X}(h)} \equiv J(h)
\end{align}
とおく。いま，
J^{\prime}(h) &= \frac{d}{dh}\left(\frac{M_{X}^{(1)}(h)}{M_{X}(h)}\right)
= \frac{M_{X}^{(2)}(h)M_{X}(h)-M_{X}^{(1)}(h)M_{X}^{(1)}(h)}{(M_{X}(h))^{2}}\\[0.7em]
&= \frac{M_{X}^{(2)}}{M_{X}(h)}-\left(\frac{M_{X}^{(1)}(h)}{M_{X}(h)}\right)^{2}
= E[X_{W}^{2}]-E[X_{W}]^{2} = V[X_{W}]\geq 0
\end{align}
となるため，$J(h)$は単調増加関数となる。$h=0$のとき，
E[X_{W}] &= J(0) = \frac{M_{X}^{(1)}(0)}{M_{X}(0)} = \frac{E[X]}{1} = E[X]
\end{align}
となることに注意すると，
\begin{cases}
E[X_{W}]\leq E[X] & (h<0)\\[0.7em]
E[X_{W}]= E[X] & (h=0)\\[0.7em]
E[X_{W}]\geq E[X] & (h>0)\\[0.7em]
\end{cases}
\end{align}
となる。ただし，モーメント母関数の定義より$M_{X}(0){=}1$を利用した。
$J(h)$が狭義単調増加であれば$h{<}0$のとき$E[X_{W}]{<}E[X]$，$h{>}0$のとき$E[X_{W}]{>}E[X]$のように端点に等号は含まれませんが，$J(h){\geq}0$より$J(h)$は広義単調増加になるため，端点に等号を含みます。
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