【過去問解答】2014年統計検定1級＜統計数理4＞

2024年11月2日

統計検定1級の過去問解答解説を行います。目次は以下をご覧ください。

統計検定1級の過去問解答解説目次へ

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問題
解答
1. (1)
2. (2)
3. (3)
4. (4)
5. (5)

問題

統計検定1級の過去問からの出題になります。統計検定の問題の著作権は日本統計学会に帰属していますので，本稿にて記載することはできません。「演習問題を俯瞰する」で詳しく紹介している公式の過去問題集をご購入いただきますようお願い致します。

解答

$F$ 検定と測定法の比較検討に関する出題でした。

(1)

測定法(1)の計画行列を $X_{(1)}$ ，測定法(2)の計画行列を $X_{(2)}$ とおくと，

\begin{array}{r} (1) & X_{(1)} = (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}), X_{(2)} = (\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}) \end{array}

と表される。正規方程式は $X^{'} X θ = X^{'} x$ であるため， $θ$ の最小二乗推定量は $X^{'} X$ が正則のとき $(X^{'} X)^{- 1} X^{'} x$ となる。二つの測定法それぞれについて，この最小二乗推定量を計算する。測定法(1)については，

\begin{array}{r} (2) & X_{(1)}^{'} X_{(1)} = (\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}) (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}) = 2 I_{5} \end{array}

となることに注意すると，

\begin{aligned} (3) & {\hat{θ}}_{1} & = (2 I_{5})^{- 1} X_{(1)}^{'} x = \frac{1}{2} (\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}) (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5} \\ x_{6} \\ x_{7} \\ x_{8} \\ x_{9} \\ x_{10} \end{array}) = \frac{1}{2} (\begin{array}{c} x_{1} + x_{2} \\ x_{3} + x_{4} \\ x_{5} + x_{6} \\ x_{7} + x_{8} \\ x_{9} + x_{10} \end{array}) \end{aligned}

が得られる。測定法(2)については，

\begin{array}{r} (4) & X_{(2)}^{'} X_{(2)} = (\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \end{array}) (\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 4 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 4 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 4 \end{array}) \end{array}

となること，および与えられた公式に $a = 4, b = 1, k = 5$ を代入して得られる

\begin{aligned} (5) & {(\begin{array}{c} 4 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 4 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 4 \end{array})}^{- 1} & = \frac{1}{24} (\begin{array}{c} 7 & - 1 & - 1 & - 1 & - 1 \\ - 1 & 7 & - 1 & - 1 & - 1 \\ - 1 & - 1 & 7 & - 1 & - 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 & 7 & - 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 & - 1 & 7 \end{array}) \end{aligned}

を利用すると，

\begin{aligned} (6) & {\hat{θ}}_{2} & = \frac{1}{24} (\begin{array}{c} 7 & - 1 & - 1 & - 1 & - 1 \\ - 1 & 7 & - 1 & - 1 & - 1 \\ - 1 & - 1 & 7 & - 1 & - 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 & 7 & - 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 & - 1 & 7 \end{array}) (\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \end{array}) (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5} \\ x_{6} \\ x_{7} \\ x_{8} \\ x_{9} \\ x_{10} \end{array}) \\ (7) & = \frac{1}{24} (\begin{array}{c} 6 & 6 & 6 & 6 & - 2 & - 2 & - 2 & - 2 & - 2 & - 2 \\ 6 & - 2 & - 2 & - 2 & 6 & 6 & 6 & - 2 & - 2 & - 2 \\ - 2 & 6 & - 2 & - 2 & 6 & - 2 & - 2 & 6 & 6 & - 2 \\ - 2 & - 2 & 6 & - 2 & - 2 & 6 & - 2 & 6 & - 2 & 6 \\ - 2 & - 2 & - 2 & 6 & - 2 & - 2 & 6 & - 2 & 6 & 6 \end{array}) (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5} \\ x_{6} \\ x_{7} \\ x_{8} \\ x_{9} \\ x_{10} \end{array}) \\ (8) & = \frac{1}{12} (\begin{array}{c} 3 (x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4}) - (x_{5} + x_{6} + x_{7} + x_{8} + x_{9} + x_{10}) \\ 3 (x_{1} + x_{5} + x_{6} + x_{7}) - (x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{8} + x_{9} + x_{10}) \\ 3 (x_{2} + x_{5} + x_{8} + x_{9}) - (x_{1} + x_{3} + x_{4} + x_{6} + x_{7} + x_{10}) \\ 3 (x_{3} + x_{6} + x_{8} + x_{10}) - (x_{1} + x_{2} + x_{4} + x_{5} + x_{7} + x_{9}) \\ 3 (x_{4} + x_{7} + x_{9} + x_{10}) - (x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{5} + x_{6} + x_{8}) \end{array}) \end{aligned}

が得られる。

正規方程式の解は，

\begin{aligned} (9) & \frac{d}{d θ} (\frac{1}{2} ‖ x - X θ ‖^{2}) & = \frac{1}{2} \frac{d}{d θ} (x - X θ)^{'} (x - X θ) = \frac{1}{2} \frac{d}{d θ} (x^{'} x - 2 θ^{'} X^{'} + θ^{'} X^{'} X θ) \\ (10) & = \frac{1}{2} (- 2 X^{'} x + 2 X^{'} X θ) = 0 \end{aligned}

を解くことにより， $X^{'} X$ が正則のときに $\hat{θ} = (X^{'} X)^{- 1} X^{'} x$ が得られます。

(2)

最小二乗推定量 $\hat{θ}$ の標本分散 $V [\hat{θ}]$ は $σ^{2} (X^{'} X)^{- 1}$ と表される。小問(1)の結果より，

\begin{array}{r} (11) & V [{\hat{θ}}_{(1)}] = \frac{σ^{2}}{2} I_{5}, V [{\hat{θ}}_{(2)}] = \frac{σ^{2}}{24} (\begin{array}{c} 7 & - 1 & - 1 & - 1 & - 1 \\ - 1 & 7 & - 1 & - 1 & - 1 \\ - 1 & - 1 & 7 & - 1 & - 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 & 7 & - 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 & - 1 & 7 \end{array}) \end{array}

が得られるため，測定法(1)では $V [{\hat{θ}}_{j}] = σ^{2} / 2$ ，測定法(2)では $V [{\hat{θ}}_{j}] = 7 σ^{2} / 24$ となる。

最小二乗推定量 $\hat{θ}$ の標本分散 $V [\hat{θ}]$ が $σ^{2} (X^{'} X)^{- 1}$ となることは，

\begin{aligned} (12) & V [\hat{θ}] & = V [(X^{'} X)^{- 1} X^{'} x] = V [(X^{'} X)^{- 1} X^{'} (X θ + ε)] = V [θ + (X^{'} X)^{- 1} X^{'} ε] = V [(X^{'} X)^{- 1} X^{'} ε] \\ (13) & = E [{(X^{'} X)^{- 1} X^{'} ε} {(X^{'} X)^{- 1} X^{'} ε}^{'}] = E [(X^{'} X)^{- 1} X^{'} ε ε^{'} X {(X^{'} X)^{- 1}}^{'}] \\ (14) & = E [(X^{'} X)^{- 1} X^{'} ε ε^{'} X (X^{'} X)^{- 1}] = (X^{'} X)^{- 1} X^{'} E [ε ε^{'}] X (X^{'} X)^{- 1} \\ (15) & = (X^{'} X)^{- 1} X^{'} (σ^{2} I_{10}) X (X^{'} X)^{- 1} = σ^{2} (X^{'} X)^{- 1} \end{aligned}

のように示されます。また，小問(1)の結果をそのまま用いて，測定法(1)については

\begin{aligned} (16) & V [θ_{j}] & = V [\frac{x_{*} + x_{*}}{2}] = \frac{2 V [x_{*}]}{4} = \frac{σ^{2}}{2} \end{aligned}

と求め，測定法(2)については

\begin{aligned} (17) & V [θ_{j}] & = V [\frac{3 (x_{*} + x_{*} + x_{*} + x_{*}) - (x_{*} + x_{*} + x_{*} + x_{*} + x_{*} + x_{*})}{12}] = \frac{9 \cdot 4 σ^{2} + 6 σ^{2}}{12^{2}} = \frac{7 σ^{2}}{24} \end{aligned}

と求めてもよいです。 $x_{*}$ は測定値ですが， $x = X θ + ε$ より $V [x]$ は測定誤差の分散 $σ^{2}$ となることに注意してください。

(3)

帰無仮説 $H_{0}$ に対し，帰無仮説を制約条件として計算した最小二乗推定値のもとでの残差平方和を $R S S_{R}$ ，何の制約条件も設けずに計算した最小二乗推定値のもとでの残差平方和を $R S S_{U R}$ とおくと，以下で定義される

\begin{aligned} (18) & F & = \frac{(R S S_{R} - R S S_{U R}) / q}{R S S_{U R} / (n - K)} \end{aligned}

は， $F (q, n - K)$ に従う。ただし， $q$ は帰無仮説における等号の数， $K$ はパラメータ数を表している。これを本問題に適用すると，

\begin{array}{r} (19) & R S S_{R} = ‖ x - X_{0} {\hat{θ}}_{0} ‖^{2}, R S S_{U R} = ‖ x - X \hat{θ} ‖^{2}, n = 10, q = 4, K = 5 \end{array}

となる。ただし， $‖ \cdot ‖$ は各成分の二乗和の平方根であるノルムを表し， $θ_{0}$ は帰無仮説 $H_{0}$ の元での線形モデル $x = X θ_{0} + ε$ で定義する。なお，公式解答では帰無仮説の下での計画行列 $X$ を $X_{0}$ として定義しているが，帰無仮説は母数に対する仮定であって測定方法に関する仮定ではないため，帰無仮説の有無に応じて $X$ の形が変化することはない。ここで，

\begin{aligned} (20) & R S S_{R} & = ‖ x - X {\hat{θ}}_{0} ‖^{2} = (x - X {\hat{θ}}_{0})^{'} (x - X {\hat{θ}}_{0}) \\ (21) & = {(x - X \hat{θ}) + (X \hat{θ} - X {\hat{θ}}_{0})}^{'} {(x - X \hat{θ}) + (X \hat{θ} - X {\hat{θ}}_{0})} \\ (22) & = R S S_{U R} + (x - X \hat{θ})^{'} (X \hat{θ} - X {\hat{θ}}_{0}) + (X \hat{θ} - X {\hat{θ}}_{0})^{'} (x - X \hat{θ}) + ‖ X \hat{θ} - X {\hat{θ}}_{0} ‖^{2} \end{aligned}

において，

\begin{aligned} (23) & (x - X \hat{θ})^{'} (X \hat{θ} - X {\hat{θ}}_{0}) & = x^{'} X \hat{θ} - x^{'} X {\hat{θ}}_{0} - {\hat{θ}}^{'} X^{'} X \hat{θ} + {\hat{θ}}^{'} X^{'} X {\hat{θ}}_{0} \\ (24) & = x^{'} X \hat{θ} - x^{'} X {\hat{θ}}_{0} - (X^{'} X \hat{θ})^{'} \hat{θ} + (X^{'} X \hat{θ})^{'} {\hat{θ}}_{0} \\ (25) & = x^{'} X \hat{θ} - x^{'} X {\hat{θ}}_{0} - (X^{'} X (X^{'} X)^{- 1} X^{'} x)^{'} \hat{θ} + (X^{'} X (X^{'} X)^{- 1} X^{'} x)^{'} {\hat{θ}}_{0} \\ (26) & = x^{'} X \hat{θ} - x^{'} X {\hat{θ}}_{0} - (X^{'} x)^{'} \hat{θ} + (X^{'} x)^{'} {\hat{θ}}_{0} \\ (27) & = x^{'} X \hat{θ} - x^{'} X {\hat{θ}}_{0} - x^{'} X \hat{θ} + x^{'} X {\hat{θ}}_{0} = 0 \end{aligned}

および同様に

\begin{aligned} (28) & (X \hat{θ} - X {\hat{θ}}_{0})^{'} (x - X \hat{θ}) & = (X \hat{θ})^{'} x - (X \hat{θ})^{'} X \hat{θ} - (X {\hat{θ}}_{0})^{'} x + (X {\hat{θ}}_{0})^{'} X \hat{θ} \\ (29) & = (X \hat{θ})^{'} x - {\hat{θ}}^{'} (X^{'} X \hat{θ}) - (X {\hat{θ}}_{0})^{'} x + θ_{0}^{'} (X_{0}^{'} X \hat{θ}) \\ (30) & = (X \hat{θ})^{'} x - {\hat{θ}}^{'} (X^{'} x) - (X {\hat{θ}}_{0})^{'} x + θ_{0}^{'} (X_{0}^{'} x) \\ (31) & = {\hat{θ}}^{'} X^{'} x - {\hat{θ}}^{'} X^{'} x - {\hat{θ}}_{0}^{'} X^{'} x - {\hat{θ}}_{0}^{'} X^{'} x = 0 \end{aligned}

より

\begin{aligned} (32) & R S S_{R} - R S S_{U R} & = ‖ X \hat{θ} - X {\hat{θ}}_{0} ‖^{2} \end{aligned}

となることに注意すると， $F$ 統計量は

\begin{aligned} (33) & F & = \frac{‖ X \hat{θ} - X {\hat{θ}}_{0} ‖^{2} / 4}{‖ x - X \hat{θ} ‖^{2} / 5} \end{aligned}

となる。

$F$ 統計量の詳しい解説は，どこかのタイミングで別記事で解説します。

(4)

問題文で与えられた非心度の定義より， $F$ 統計量の分子が従うカイ二乗分布の非心度を求めればよい。帰無仮説 $H_{0}$ の下では $\bar{θ} = θ_{1} = \dots = θ_{5}$ となるため，代表して $θ_{1}$ などを用いることもできるが，ここでは簡単のため

\begin{aligned} (34) & {\hat{θ}}_{0} & = (\begin{array}{c} \bar{θ} \\ \bar{θ} \\ \bar{θ} \\ \bar{θ} \\ \bar{θ} \end{array}) \end{aligned}

と表すことにする。測定法(1)について，小問(1)で求めた $X_{(1)}$ を用いれば，

\begin{aligned} (35) & X_{(1)} \hat{θ} - X_{(1)} {\hat{θ}}_{0} & = (\begin{array}{c} {\hat{θ}}_{1} - \bar{θ} \\ {\hat{θ}}_{1} - \bar{θ} \\ {\hat{θ}}_{2} - \bar{θ} \\ {\hat{θ}}_{2} - \bar{θ} \\ {\hat{θ}}_{3} - \bar{θ} \\ {\hat{θ}}_{3} - \bar{θ} \\ {\hat{θ}}_{4} - \bar{θ} \\ {\hat{θ}}_{4} - \bar{θ} \\ {\hat{θ}}_{5} - \bar{θ} \\ {\hat{θ}}_{5} - \bar{θ} \end{array}) \end{aligned}

となるため，ノルムは

\begin{aligned} (36) & ‖ X_{(1)} \hat{θ} - X_{(1)} {\hat{θ}}_{0} ‖^{2} & = ({\hat{θ}}_{1} - \bar{θ})^{2} + ({\hat{θ}}_{1} - \bar{θ})^{2} + \dots + ({\hat{θ}}_{5} - \bar{θ})^{2} + ({\hat{θ}}_{5} - \bar{θ})^{2} \end{aligned}

となる。一方， $F$ 統計量の定義より $‖ X \hat{θ} - X {\hat{θ}}_{0} ‖^{2}$ は自由度 $4$ の非心カイ二乗分布に従う。非心カイ二乗分布は正規分布に従う確率変数の二乗和が従う確率分布であるという非心カイ二乗分布の定義より，式( $36$ )の各項の平方根が従っている正規分布の平均を求めればカイ二乗分布の非心度が求められることが分かる。各項の平方根について，最小二乗推定量は不偏性をもつため，

\begin{aligned} (37) & E [{\hat{θ}}_{i} - \bar{θ}] & = E [{\hat{θ}}_{i}] - \bar{θ} = θ_{i} - \bar{θ} \end{aligned}

となることに注意すれば，問題文で与えられた非心度の定義より， $F$ 統計量の分子が従う非心度 $λ_{(1)}$ は

\begin{aligned} (38) & λ_{(1)} & = (θ_{1} - \bar{θ})^{2} + (θ_{1} - \bar{θ})^{2} + \dots + (θ_{5} - \bar{θ})^{2} + (θ_{5} - \bar{θ})^{2} = 2 \sum_{i = 1}^{5} (θ_{i} - \bar{θ})^{2} \end{aligned}

となる。同様に，測定法(2)について，小問(1)で求めた $X_{(2)}$ を用いれば，

\begin{aligned} (39) & X_{(2)} \hat{θ} - X_{(2)} {\hat{θ}}_{0} & = (\begin{array}{c} ({\hat{θ}}_{1} + {\hat{θ}}_{2}) - (\bar{θ} + \bar{θ}) \\ ({\hat{θ}}_{1} + {\hat{θ}}_{3}) - (\bar{θ} + \bar{θ}) \\ ({\hat{θ}}_{1} + {\hat{θ}}_{4}) - (\bar{θ} + \bar{θ}) \\ ({\hat{θ}}_{1} + {\hat{θ}}_{5}) - (\bar{θ} + \bar{θ}) \\ ({\hat{θ}}_{2} + {\hat{θ}}_{2}) - (\bar{θ} + \bar{θ}) \\ ({\hat{θ}}_{2} + {\hat{θ}}_{4}) - (\bar{θ} + \bar{θ}) \\ ({\hat{θ}}_{2} + {\hat{θ}}_{5}) - (\bar{θ} + \bar{θ}) \\ ({\hat{θ}}_{3} + {\hat{θ}}_{4}) - (\bar{θ} + \bar{θ}) \\ ({\hat{θ}}_{3} + {\hat{θ}}_{5}) - (\bar{θ} + \bar{θ}) \\ ({\hat{θ}}_{4} + {\hat{θ}}_{5}) - (\bar{θ} + \bar{θ}) \end{array}) = (\begin{array}{c} ({\hat{θ}}_{1} - \bar{θ}) + ({\hat{θ}}_{2} - \bar{θ}) \\ ({\hat{θ}}_{1} - \bar{θ}) + ({\hat{θ}}_{3} - \bar{θ}) \\ ({\hat{θ}}_{1} - \bar{θ}) + ({\hat{θ}}_{4} - \bar{θ}) \\ ({\hat{θ}}_{1} - \bar{θ}) + ({\hat{θ}}_{5} - \bar{θ}) \\ ({\hat{θ}}_{2} - \bar{θ}) + ({\hat{θ}}_{3} - \bar{θ}) \\ ({\hat{θ}}_{2} - \bar{θ}) + ({\hat{θ}}_{4} - \bar{θ}) \\ ({\hat{θ}}_{2} - \bar{θ}) + ({\hat{θ}}_{5} - \bar{θ}) \\ ({\hat{θ}}_{3} - \bar{θ}) + ({\hat{θ}}_{4} - \bar{θ}) \\ ({\hat{θ}}_{3} - \bar{θ}) + ({\hat{θ}}_{5} - \bar{θ}) \\ ({\hat{θ}}_{4} - \bar{θ}) + ({\hat{θ}}_{5} - \bar{θ}) \end{array}) \end{aligned}

となるため，ノルムは

\begin{aligned} (40) & ‖ X_{(2)} \hat{θ} - X_{(2)} {\hat{θ}}_{0} ‖^{2} & = 4 \sum_{i = 1}^{5} ({\hat{θ}}_{i} - \bar{θ})^{2} + 2 \sum_{i = 1}^{4} \sum_{j = i + 1}^{5} ({\hat{θ}}_{i} - \bar{θ}) ({\hat{θ}}_{j} - \bar{θ}) \\ (41) & = 4 \sum_{i = 1}^{5} ({\hat{θ}}_{i} - \bar{θ})^{2} + {\sum_{i = 1}^{5} ({\hat{θ}}_{i} - \bar{θ}) \sum_{j = 1}^{5} ({\hat{θ}}_{i} - \bar{θ}) - \sum_{i = 1}^{5} ({\hat{θ}}_{i} - \bar{θ})^{2}} \\ (42) & = 4 \sum_{i = 1}^{5} ({\hat{θ}}_{i} - \bar{θ})^{2} + {\sum_{i = 1}^{5} ({\hat{θ}}_{i} - \bar{θ}) (\sum_{j = 1}^{5} {\hat{θ}}_{i} - 5 \bar{θ}) - \sum_{i = 1}^{5} ({\hat{θ}}_{i} - \bar{θ})^{2}} \\ (43) & = 4 \sum_{i = 1}^{5} ({\hat{θ}}_{i} - \bar{θ})^{2} + {\sum_{i = 1}^{5} ({\hat{θ}}_{i} - \bar{θ}) (5 \bar{θ} - 5 \bar{θ}) - \sum_{i = 1}^{5} ({\hat{θ}}_{i} - \bar{θ})^{2}} \\ (44) & = 4 \sum_{i = 1}^{5} ({\hat{θ}}_{i} - \bar{θ})^{2} - \sum_{i = 1}^{5} ({\hat{θ}}_{i} - \bar{θ})^{2} = 3 \sum_{i = 1}^{5} ({\hat{θ}}_{i} - \bar{θ})^{2} \end{aligned}

となる。測定法(1)との対称性に注意すれば， $F$ 統計量の分子が従う非心度 $λ_{(2)}$ は

\begin{aligned} (45) & λ_{(2)} & = 3 \sum_{i = 1}^{5} (θ_{i} - \bar{θ})^{2} \end{aligned}

となる。

非心分布の解説も併せてご参照ください。

(5)

小問(2)の結果より，測定法(2)の方が測定法(1)と比べて推定量の分散が小さいため有効であり，小問(4)の結果より，測定法(2)の方が測定法(1)と比べて $F$ 統計量の非心度が大きいため効率的である。なお， $F$ 統計量の非心度が大きいと，対立仮説が真の場合に $F$ 統計量の分子が大きくなるため検出力が大きくなることを利用した。

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コメント一覧（7件）

たぶろー より:

2024年10月12日 18:06

お世話になります。

(37)で $E [\hat{θ_{i}} - \bar{θ}] = θ_{i} - \bar{θ}$ とあります。なので、式(38)において $(\hat{θ_{i}} - \bar{θ}) / σ$ の期待値は $(θ_{i} - \bar{θ}) / σ$ だと思うのですが、それだと非心度にも $σ^{2}$ がスケーリングされてしまうので、解答とは異なってしまいます。なぜ $\hat{θ_{i}} - \bar{θ} / σ$ の期待値は $σ$ でスケーリングされないのでしょうか。

返信
- zuka より:
  
  2024年10月14日 10:34
  
  たぶろー様
  
  ご指摘ありがとうございます。おっしゃる通り、標準化のような手続きをしており誤りでした。今回は定義より $F$ 統計量の分子の $Y_{1}$ について、各項の平均だけに着目すれば解ける問題であるため、本文の記述を改めました。
たぶろー より:

2024年10月14日 20:05

zuka 様

ご返信ありがとうございます。
非心カイ二乗分布の定義には、 $Z \sim N (μ_{i}, 1)$ のとき、 $Σ Z_{i}^{2}$ の分布がそれで、 $Σ μ_{i}^{2}$ が非心度、項数 $n$ が自由度とあります。 ${\hat{θ}}_{i} - \bar{θ}$ の期待値の二乗和を今回の問題では非心度としていますが、 ${\hat{θ}}_{i} - \bar{θ}$ の分散が $1$ かどうかはわからないと思います。ただ、たとえ ${\hat{θ}}_{i} - \bar{θ}$ の分散が $1$ だとしても、各 $i$ が $2$ 組ずつの計 $10$ 項の和の分布なので、定義から考えると自由度が $10$ になってしまい、 $4$ でなくなってしまいます。一体、これは何を計算しているのかわからなくなってしまいました。zuka様の解釈を教えていただけますでしょうか。

返信
- zuka より:
  
  2024年10月16日 20:04
  
  たぶろー様
  
  ご指摘ありがとうございます。少し考えたく、お時間いただけますと幸いです。
  ※ もし統計検定1級を目指されているのであれば、当年度の問題は最近の問題と比べてかなり難易度が高いのでスルーしてもよいかと思います。モヤモヤするのは共感できますので、少々お待ちください。（解決できなければすみません><）
たぶろー より:

2024年10月16日 22:03

zuka 様

お時間をとらせてしまい申し訳ございません。
ありがとうございます！

返信
- zuka より:
  
  2024年11月2日 12:44
  
  たぶろー様
  
  お待たせしました。
  
  > ${\hat{θ}}_{i} - \bar{θ}$ の分散が $1$ かどうかはわからないと思います
  仰る通りですが，次のように考えられると思います。まず今回は問題で $F$ 統計量の定義が与えられているため「 $F$ 統計量の分子はカイ二乗分布に従う確率変数を自由度で除したものである」は既知であるものとできると考えます。すると，例えば測定法(1)では
  
  $\begin{aligned} (46) & ‖ X_{(1)} \hat{θ} - X_{(1)} {\hat{θ}}_{0} ‖^{2} & = ({\hat{θ}}_{1} - \bar{θ})^{2} + ({\hat{θ}}_{1} - \bar{θ})^{2} + \dots + ({\hat{θ}}_{5} - \bar{θ})^{2} + ({\hat{θ}}_{5} - \bar{θ})^{2} \end{aligned}$
  
  は「 $4$ つの項にグルーピングされてそれぞれの項が分散 $1$ の正規分布に従う」と考えることができます。分散 $1$ となることは $F$ 統計量の定義から逆算するイメージです。このとき，正規分布の再生性からカイ二乗分布の自由度はグルーピングする前の平均の和となります。
  
  >各 $i$ が $2$ 組ずつの計 $10$ 項の和の分布なので、定義から考えると自由度が $10$ になってしまい、
  計 $10$ 項の確率変数が全て独立の場合は仰る通りです。しかし、今回の $10$ 項は独立ではないため自由度は $10$ とはならないと考えています。
- たぶろー より:
  
  2024年11月6日 11:57
  
  zuka 様
  
  ご回答ありがとうございます。大変感謝しております。ご回答内容をもとに、今一度じっくりと見直させていただきます。

【過去問解答】2014年統計検定1級＜統計数理4＞

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解答

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