【徹底解説】ガンマ分布とガンマ関数

zuka

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zuka(@beginaid)です。

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目次

ガンマ分布とガンマ関数

ガンマ分布とガンマ関数の関係は以下で表される。

\begin{align}
\int_{0}^{\infty} x^{n-1} e^{-\lambda x} dx &= \frac{\Gamma(n)}{\lambda^{n}} \label{ガンマ分布とガンマ関数}
\end{align}

ガンマ分布の確率密度関数から導かれる基本的な等式です。

証明

ガンマ分布の確率密度関数を積分すると$1$になりますので,

\begin{align}
\int_{0}^{\infty} \frac{\lambda^{n}}{\Gamma(n)}x^{n-1} e^{-\lambda x} &= 1
\end{align}

が成り立ちます。したがって,定数部分を積分の外に出すことで,式($\ref{ガンマ分布とガンマ関数}$)が成り立ちます

参考文献

本稿の執筆にあたり参考にした文献は,以下でリストアップしております。

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