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目次
F分布とベータ分布
$X\sim F(2n,2m)$のとき，$Y=m/(m+nX)$はベータ分布$\Be(m,n)$に従う。また，$\Be(m,n)$の下側$100\alpha\%$点$B_{n}^{m}(1-\alpha)$と$F(2n,2m)$の上側$100\alpha\%$点$F_{2m}^{2n}(\alpha)$には，
\begin{align}
B_{n}^{m}(1-\alpha) &= \frac{m}{m+nF_{2m}^{2n}(\alpha)}\label{主題}
\end{align}
B_{n}^{m}(1-\alpha) &= \frac{m}{m+nF_{2m}^{2n}(\alpha)}\label{主題}
\end{align}
という関係が成り立つ。
証明
$x=(m/n)(1/y-1)$より，ヤコビアンは$|dx/dy|=m/(ny^{2})$となります。したがって，$0<y<1$に対して
\begin{align}
g(y)
&= \frac{(2m)^{m}(2n)^{n}}{B(m,n)}\frac{(m/n)^{n-1}((1-y)/y)^{n-1}}{(2m/y)^{n+m}}\frac{m}{ny^{2}}
= \frac{y^{m-1}(1-y)^{n-1}}{B(m,n)}
\end{align}
g(y)
&= \frac{(2m)^{m}(2n)^{n}}{B(m,n)}\frac{(m/n)^{n-1}((1-y)/y)^{n-1}}{(2m/y)^{n+m}}\frac{m}{ny^{2}}
= \frac{y^{m-1}(1-y)^{n-1}}{B(m,n)}
\end{align}
が成り立ちます。すなわち，$Y\sim\Be(m,n)$となります。また，下側確率の定義より，$\beta=1-\alpha$とおくと，
\begin{align}
B_{n}^{m}(1-\alpha)
&= p(Y\leq B_{n}^{m}(\beta))
= p\left(\frac{m}{m+nX}\leq B_{n}^{m}(\beta)\right)
= p\left(X\geq \frac{m}{n}\left(\frac{1}{B_{n}^{m}(\beta)}-1\right)\right)
\end{align}
B_{n}^{m}(1-\alpha)
&= p(Y\leq B_{n}^{m}(\beta))
= p\left(\frac{m}{m+nX}\leq B_{n}^{m}(\beta)\right)
= p\left(X\geq \frac{m}{n}\left(\frac{1}{B_{n}^{m}(\beta)}-1\right)\right)
\end{align}
となります。直前で示した結果より，
\begin{align}
\frac{m}{n}\left(\frac{1}{B_{n}^{m}(\beta)}-1\right) &= F_{2m}^{2n}(\alpha)
\end{align}
\frac{m}{n}\left(\frac{1}{B_{n}^{m}(\beta)}-1\right) &= F_{2m}^{2n}(\alpha)
\end{align}
となるため，式($\ref{主題}$)が示されました。
参考文献
本稿の執筆にあたり参考にした文献は，以下でリストアップしております。
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