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目次
同時確率関数
離散型確率変数$X$，$Y$に対して
\begin{align}
f_{XY}(x, y) &= P(X=x,~Y=y)
\end{align}
f_{XY}(x, y) &= P(X=x,~Y=y)
\end{align}
で定義される非負関数$f_{XY}(\cdot, \cdot)$を同時確率質量関数と呼ぶ。また，$X$が連続型確率変数のときは，
\begin{align}
\int_{a}^{b}\int_{c}^{d} f_{XY}(x,y) dxdy &= P(a\leq X \leq b,~c\leq Y \leq d)
\end{align}
\int_{a}^{b}\int_{c}^{d} f_{XY}(x,y) dxdy &= P(a\leq X \leq b,~c\leq Y \leq d)
\end{align}
で定義される非負関数$f_{XY}(\cdot, \cdot)$を同時確率密度関数と呼ぶ。
数理統計学で数式を記述する際には基本的に複数の確率変数を扱いますので，同時確率関数の定義が必須になります。
補足
同時確率密度関数は，
\begin{align}
f(x,y) &= \lim_{\Delta x\rarr0,\Delta y\rarr0}\frac{P(X\in[x,x+\Delta x],Y\in[y,y+\Delta y])}{\Delta x\Delta y}
\end{align}
f(x,y) &= \lim_{\Delta x\rarr0,\Delta y\rarr0}\frac{P(X\in[x,x+\Delta x],Y\in[y,y+\Delta y])}{\Delta x\Delta y}
\end{align}
と定義することもできます。
参考文献
本稿の執筆にあたり参考にした文献は，以下でリストアップしております。
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