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目次
同時分布関数
確率変数$X$，$Y$に対して
\begin{align}
F_{XY}(x,y) &= P(X\leq x,~Y\leq y)
\end{align}
F_{XY}(x,y) &= P(X\leq x,~Y\leq y)
\end{align}
で定義される関数$F_{XY}(\cdot, \cdot)$を同時分布関数と呼ぶ。
数理統計学で数式を記述する際には基本的に複数の確率変数を扱いますので，同時分布関数の定義が必須になります。
補足
同時累積分布関数は，$(X,Y)\in D$のとき
\begin{align}
F_{X,Y}(x,y) &= \int\int_{D}f_{X,Y}(x,y)dxdy
\end{align}
F_{X,Y}(x,y) &= \int\int_{D}f_{X,Y}(x,y)dxdy
\end{align}
とも書けますので，
\begin{align}
f_{X,Y}(x,y) &= \frac{\partial^{2}F_{X,Y}(x,y)}{\partial x\partial y}\label{微分の関係}
\end{align}
f_{X,Y}(x,y) &= \frac{\partial^{2}F_{X,Y}(x,y)}{\partial x\partial y}\label{微分の関係}
\end{align}
が成り立つのは自明とする場合もあります。ここでは，同時確率密度関数の別の定義
\begin{align}
f_{X,Y}(x,y) &= \lim_{\Delta x\rarr0,\Delta y\rarr0}\frac{P(X\in[x,x+\Delta x],Y\in[y,y+\Delta y])}{\Delta x\Delta y}\label{定義}
\end{align}
f_{X,Y}(x,y) &= \lim_{\Delta x\rarr0,\Delta y\rarr0}\frac{P(X\in[x,x+\Delta x],Y\in[y,y+\Delta y])}{\Delta x\Delta y}\label{定義}
\end{align}
を利用して式($\ref{微分の関係}$)を確認します。ただし，以下では関数の添字を省略して，$f_{X,Y}$を$f$，$F_{X,Y}$を$F$と書きます。まず，包含排除の関係から，
\begin{align}
&P(x<X\leq x+\Delta x,y<Y\leq y+\Delta y) \notag\\[0.7em]
&=
F(x+\Delta x, y+\Delta y)-
F(x+\Delta x,y)-
F(x,y+\Delta y)+
F(x,y)
\end{align}
&P(x<X\leq x+\Delta x,y<Y\leq y+\Delta y) \notag\\[0.7em]
&=
F(x+\Delta x, y+\Delta y)-
F(x+\Delta x,y)-
F(x,y+\Delta y)+
F(x,y)
\end{align}
が成り立ちます。これを同時確率密度関数の定義式($\ref{定義}$)に代入すれば，
\begin{align}
f(x,y) &= \lim_{\Delta x\rarr0,\Delta y\rarr0}\frac{F(x+\Delta x, y+\Delta y)-F(x+\Delta x,y)-F(x,y+\Delta y)+F(x,y)}{\Delta x\Delta y}\\[0.7em]
f(x,y) &= \lim_{\Delta x\rarr0}\frac{1}{\Delta x}\left\{\lim_{\Delta y\rarr0}\left(\frac{F(x+\Delta x, y+\Delta y)-F(x+\Delta x,y)}{\Delta y}\right.\right. \notag\\[0.7em]
&\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad-\left.\left.\frac{F(x,y+\Delta y)-F(x,y)}{\Delta y}\right)\right\}\\[0.7em]
&= \lim_{\Delta x\rarr0}\frac{F_{y}(x+\Delta x,y)-F_{y}(x,y)}{\Delta x}\\[0.7em]
&= F_{yx}(x,y)\\[0.7em]
&= \frac{\partial^{2}F(x,y)}{\partial x\partial y}
\end{align}
f(x,y) &= \lim_{\Delta x\rarr0,\Delta y\rarr0}\frac{F(x+\Delta x, y+\Delta y)-F(x+\Delta x,y)-F(x,y+\Delta y)+F(x,y)}{\Delta x\Delta y}\\[0.7em]
f(x,y) &= \lim_{\Delta x\rarr0}\frac{1}{\Delta x}\left\{\lim_{\Delta y\rarr0}\left(\frac{F(x+\Delta x, y+\Delta y)-F(x+\Delta x,y)}{\Delta y}\right.\right. \notag\\[0.7em]
&\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad-\left.\left.\frac{F(x,y+\Delta y)-F(x,y)}{\Delta y}\right)\right\}\\[0.7em]
&= \lim_{\Delta x\rarr0}\frac{F_{y}(x+\Delta x,y)-F_{y}(x,y)}{\Delta x}\\[0.7em]
&= F_{yx}(x,y)\\[0.7em]
&= \frac{\partial^{2}F(x,y)}{\partial x\partial y}
\end{align}
が得られます。
ここでは偏微分の交換が成り立つものとして議論は省略しています。
参考文献
本稿の執筆にあたり参考にした文献は，以下でリストアップしております。
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