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目次
確率変数の独立
二つの確率変数$X$と$Y$が以下を満たすとき，$X$と$Y$は独立であるという。
\begin{align}
f_{X,Y}(x,y) &= f_{X}(x)\cdot f_{Y}(y)
\end{align}
f_{X,Y}(x,y) &= f_{X}(x)\cdot f_{Y}(y)
\end{align}
事象の独立と同様の定義です。
補足
確率変数の独立は，素朴な確率・条件付き確率・条件付き確率関数を用いて定義することもできます。確率を用いた場合は以下のようになりますし，
二つの確率変数$X$と$Y$が以下を満たすとき，$X$と$Y$は独立であるという。
\begin{align}
p(x,y) &= p(x)\cdot p(y)
\end{align}
p(x,y) &= p(x)\cdot p(y)
\end{align}
条件付き確率を用いた場合は以下のようになりますし，
二つの確率変数$X$と$Y$が以下のいずれかを満たすとき，$X$と$Y$は独立であるという。
\begin{align}
p(y|x) &= p(y)\\[0.7em]
p(x|y) &= p(x)
\end{align}
p(y|x) &= p(y)\\[0.7em]
p(x|y) &= p(x)
\end{align}
条件付き確率関数を用いた場合は以下のようになります。
二つの確率変数$X$と$Y$が以下のいずれかを満たすとき，$X$と$Y$は独立であるという。
\begin{align}
f_{Y|X}(y|x) &= f_{Y}(y)\\[0.7em]
f_{X|Y}(x|y) &= f_{X}(x)
\end{align}
f_{Y|X}(y|x) &= f_{Y}(y)\\[0.7em]
f_{X|Y}(x|y) &= f_{X}(x)
\end{align}
参考文献
本稿の執筆にあたり参考にした文献は，以下でリストアップしております。
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