本記事では，数学検定1級で頻出のトピックについてまとめていきます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
ベータ関数とその応用
パラメータ$a>0,b>0$に対し，$0<x<1$で定義される
\begin{align}
B(a, b) &= \int_{0}^{1} x^{a-1}(1-x)^{b-1}dx
\end{align}
B(a, b) &= \int_{0}^{1} x^{a-1}(1-x)^{b-1}dx
\end{align}
をベータ関数と呼ぶ。ベータ関数は以下の性質をもつ。
\begin{cases}
\displaystyle
B\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) = \pi\\[0.7em]
B(a,b) = B(b,a)
\end{cases}
また，ガンマ関数
\begin{align}
\Gamma(x) &= \int_{0}^{\infty} t^{x-1}e^{-t}dt
\end{align}
\Gamma(x) &= \int_{0}^{\infty} t^{x-1}e^{-t}dt
\end{align}
に対し，以下の関係をもつ。
\begin{align}
B(a,b) = \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}
\end{align}
B(a,b) = \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}
\end{align}
ただし，ガンマ関数では以下の性質を利用して計算する。
\begin{cases}
\displaystyle
\Gamma(1) = 1,\quad \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi} \\[0.7em]
\Gamma(n+1) = n\Gamma(n)
\end{cases}
ベータ関数の性質の証明はこちら，ガンマ関数の性質の証明はこちらをご参照ください。
例題
次の和を求めよ。
\begin{align}
\sum_{k=0}^{98}\frac{1}{k+2}{}_{98}C_{k}(-1)^{k}
\end{align}
\sum_{k=0}^{98}\frac{1}{k+2}{}_{98}C_{k}(-1)^{k}
\end{align}
やや天下り的ですが，
\begin{align}
\frac{1}{k+2} &= \int_{0}^{1}x^{k+1}dx
\end{align}
\frac{1}{k+2} &= \int_{0}^{1}x^{k+1}dx
\end{align}
を利用すると，与式は
\begin{align}
\sum_{k=0}^{98}\frac{1}{k+2}{}_{98}C_{k}(-1)^{k}
&= \sum_{k=0}^{98}\left(\int_{0}^{1}x^{k+1}dx\right){}_{98}C_{k}(-1)^{k}\\[0.7em]
&= \int_{0}^{1}x^{k+1}\sum_{k=0}^{98}{}_{98}C_{k}(-1)^{k}dx\\[0.7em]
&= \int_{0}^{1}x\sum_{k=0}^{98}{}_{98}C_{k}(-1)^{k}x^{k}dx\\[0.7em]
&= \int_{0}^{1}x(x-1)^{98}dx
= \int_{0}^{1}x(1-x)^{98}dx\\[0.7em]
&= \int_{0}^{1}x^{2-1}(1-x)^{99-1}dx
= B(2,99) \\[0.7em]
&= \frac{\Gamma(2)\Gamma(99)}{\Gamma(101)}
= \frac{1!\cdot 98!}{100!} = \frac{1}{100\cdot 99} = \frac{1}{9900}
\end{align}
\sum_{k=0}^{98}\frac{1}{k+2}{}_{98}C_{k}(-1)^{k}
&= \sum_{k=0}^{98}\left(\int_{0}^{1}x^{k+1}dx\right){}_{98}C_{k}(-1)^{k}\\[0.7em]
&= \int_{0}^{1}x^{k+1}\sum_{k=0}^{98}{}_{98}C_{k}(-1)^{k}dx\\[0.7em]
&= \int_{0}^{1}x\sum_{k=0}^{98}{}_{98}C_{k}(-1)^{k}x^{k}dx\\[0.7em]
&= \int_{0}^{1}x(x-1)^{98}dx
= \int_{0}^{1}x(1-x)^{98}dx\\[0.7em]
&= \int_{0}^{1}x^{2-1}(1-x)^{99-1}dx
= B(2,99) \\[0.7em]
&= \frac{\Gamma(2)\Gamma(99)}{\Gamma(101)}
= \frac{1!\cdot 98!}{100!} = \frac{1}{100\cdot 99} = \frac{1}{9900}
\end{align}
と計算できます。ただし，有限和の場合は積分と総和の順序が交換できることを利用しました。
ポイント
- $1/(k+1)$を積分で表現する発想
- 与式から二項定理の陰を感じ，$\sum_{k}(s^{k}t^{k})$で二項定理を思い浮かべられるか
- ベータ関数の指数部は「$-1$」が付く
- $\Gamma(n)=n!$ではなく$\Gamma(n+1)=n!$
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