【徹底解説】可換な合成写像と上三角行列

zuka

こんにちは。
zuka(@beginaid)です。

本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。記事一覧はこちらの目次ページからご覧ください。

初学者の分かりやすさを優先するため,多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。

目次

可換な合成写像と上三角行列

$F,G$を$n$次元複素内積空間$V$の線型変換とし,$\dim V\geq 1$とする。もし,$FG=GF$ならば,$V$の適当な正規直交基底$\beta$に対する$F,G$の表現行列$[F]_{\beta},[G]_{\beta}$はともに上三角行列になる。

テプリッツの定理の証明に利用される定理です。

証明

$\dim V=n$に対する帰納法を用いて証明します。$n=1$のときは,$[F]_{\beta},[G]_{\beta}$はともに要素が一つの行列となるため,上三角行列となります。$n\geq 2$とし,$n-1$次元の場合に上の主張が成り立つと仮定します。このとき,$FG=GF$の両辺の随伴変換をとることで,$G^{\ast}F^{\ast}=F^{\ast}G^{\ast}$が成り立ち,$F^{\ast}$と$G^{\ast}$も可換であることが分かります。したがって,可換な合成写像に共通な固有ベクトルより,$F^{\ast}$と$G^{\ast}$には共通の固有ベクトル$\tilde{v}$が存在します。すると,直交補空間の定義より,$\tilde{v}$と直交する$V$の元全体の集合を$W$とすれば,$W$は$n-1$次元の部分空間で

\begin{align}
V &= W\oplus \langle\tilde{v}\rangle
\end{align}

を満たします。さて,ここで$W$は$F$に関して不変,かつ$G$に関して不変であることを示します。$W$が$F$に関して不変であることを示すためには,$v\in W$に対して$F(v)\in W$であること,すなわち$(F(v)\mid \tilde{v})=0$であることを示せばよいです。随伴変換の定義と$F^{\ast}$の固有ベクトルの定義を利用することで,

\begin{alignat}{4}
(F(v)\mid \tilde{v}) &= (v\mid F^{\ast}(\tilde{v})) &&= (v\mid \alpha\tilde{v}) &&= \alpha(v\mid \tilde{v}) &&= 0
\end{alignat}

が成り立ちます。すなわち,$W$が$F$に関して不変であることが示されました。同様に,$W$が$G$に関して不変であることが示されます。ゆえに,$F,G$の$W$への縮小$F^{\prime},G^{\prime}$が存在し,帰納法の仮定より$n-1$次元の$W$上の線型変換$F^{\prime},G^{\prime}$の表現行列$[F^{\prime}]_{\beta},[G^{\prime}]_{\beta}$は基底$\beta^{\prime}=\{v_{1},\ldots,v_{n-1}\}$に対してそれぞれ$n-1$次元の上三角行列で表されます。

\begin{align}
[F^{\prime}]_{\beta^{\prime}} =
\begin{bmatrix}
a_{11}&\cdots&a_{1,n-1}\\
&\ddots&\\
&&a_{n-1,n-1}
\end{bmatrix},\quad
[G^{\prime}]_{\beta^{\prime}} =
\begin{bmatrix}
b_{11}&\cdots&b_{1,n-1}\\
&\ddots&\\
&&b_{n-1,n-1}
\end{bmatrix}
\end{align}

$V$は$W$と$\langle \tilde{v}\rangle$の直和で表されますから,$\beta^{\prime}$に$v_{n}=\tilde{v}/\|\tilde{v}\|$を付け加えたものを$\beta$とすると,$\beta$は$V$の正規直交基底になります。このとき,表現行列の定義より,$\beta$に対する$F,G$の表現行列は

\begin{align}
[F]_{\beta} =
\begin{bmatrix}
a_{11}&\cdots&a_{1,n-1}&a_{1,n}\\
&\ddots&\vdots&\vdots\\
&&a_{n-1,n-1}&a_{n-1,n}\\
&&&a_{n,n}
\end{bmatrix},\quad
[G]_{\beta} =
\begin{bmatrix}
b_{11}&\cdots&b_{1,n-1}&b_{1,n}\\
&\ddots&\vdots&\vdots\\
&&b_{n-1,n-1}&b_{n-1,n}\\
&&&b_{n,n}
\end{bmatrix}
\end{align}

となり,上三角行列となります。したがって,帰納法より任意の$n$に対して上の主張が成り立つことが示されました。

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