【徹底解説】符号の性質

zuka

こんにちは。
zuka(@beginaid)です。

本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。記事一覧はこちらの目次ページからご覧ください。

初学者の分かりやすさを優先するため,多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。

目次

符号の性質

$n$文字の集合$\{1,\ldots,n\}$を$J_{n}$とし,$J_{n}$の$n!$個の置換$\sigma$全体の集合を$S_{n}$で表す。$S_{n}$の任意の元$\sigma,\sigma^{\prime}$に対して,

\begin{align}
\sgn(\sigma\sigma^{\prime}) &= \sgn(\sigma)\sgn(\sigma^{\prime})\label{1}\\[0.7em]
\sgn(\sigma^{-1}) &= \sgn(\sigma)\label{2}
\end{align}

が成り立つ。

符号の性質は行列式の性質を証明する際に利用されます。

証明

式($\ref{1}$)から示します。$\sigma,\sigma^{\prime}$のいずれもが偶置換,もしくはいずれもが奇置換のとき,$\sigma\sigma^{\prime}$は偶置換となるため式($\ref{1}$)の左辺は$+1$となります。一方,$\sgn(\sigma)\sgn(\sigma^{\prime})$も$+1$となるため,式($\ref{1}$)は成り立ちます。同様に,$\sigma,\sigma^{\prime}$の一方が偶置換でもう一方が偶置換のとき,$\sigma\sigma^{\prime}$は奇置換となるため式($\ref{1}$)の左辺は$-1$となります。一方,$\sgn(\sigma)\sgn(\sigma^{\prime})$も$-1$となるため,式($\ref{1}$)は成り立ちます。以上より,式($\ref{1}$)の左辺がとり得るすべてのケースで式($\ref{1}$)が成り立つことを示せました。

次に,式($\ref{2}$)を示します。$\sigma\sigma^{-1}$が恒等置換,すなわち偶置換であることに注意すると,式($\ref{1}$)より,

\begin{align}
\sgn(\sigma)\sgn(\sigma^{-1}) &= \sgn(\sigma\sigma^{-1})\\[0.7em]
&= 1
\end{align}

が成り立ちます。したがって,$\sgn(\sigma)$と$\sgn(\sigma^{-1})$は等しくなければなりません。以上で式($\ref{2}$)を示すことができました。

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