【徹底解説】ワイヤストラスの公理とデーデキントの公理の同値性

本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。

初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。

ワイヤストラスの公理とデーデキントの公理の同値性

実数をワイヤストラスの公理から構成する流派とデーデキントの公理から構成する流派が存在します。

証明

必要性と十分性それぞれに関して証明していきます。

ワイヤストラスの公理 $\Rightarrow$ デーデキントの公理

切断$⟨A,B⟩$を考えると，$A$は上に有界となります。なぜなら，$A$が上に有界でないと仮定するならば，切断の定義である

• $a\in A,b\in B\Rightarrow a<b$

に矛盾するからです。そこで，ワイヤストラスの公理より，$A$には上限$s$が存在します。切断$⟨A,B⟩$を考えるにあたり，$s$は部分集合$A$と$B$のちょうど境目の値になりますので，$s\in A$と$s\in B$との二通りのパターンが考えられます。$s\in A$の場合は，

2. $A$に最大元$a$があり，$B$の最小元は存在しない

が成り立ち，$s\in B$の場合は，

1. $A$の最大元は存在せず，$B$の最小元$b$が存在する

が成り立ちます。したがって，デーデキントの公理の主張が示されました。

デーデキントの公理 $\Rightarrow$ ワイヤストラスの公理

$A\ne \varphi$を上に有界な集合，$B$を$A$の上界の集合，$C$を$B$の補集合とします。このとき，

• $B\cup C=A$
• $B\cap C=\varphi$
• $b\in B,c\in C\Rightarrow c<b$

が成り立ちますので，順序対$⟨C,B⟩$は切断となります。すると，デーデキントの公理より，$B$の最小元が存在します。すなわち，$A$の上限が存在します。これは，ワイヤストラスの公理の主張となります。