【徹底解説】二次形式とエルミート形式の定義

zuka

こんにちは。
zuka(@beginaid)です。

本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。記事一覧はこちらの目次ページからご覧ください。

初学者の分かりやすさを優先するため,多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。

目次

二次形式とエルミート形式

$\mK$は実数空間$\mR$または複素数空間$\mC$を表す。$V$を$\mK$上のベクトル空間とし,$f$が$V$の対称双一次形式またはエルミート双一次形式であるとき,$V$の元$v$を用いて

\begin{align}
g(v) &= f(v, v)
\end{align}

と定義される$g:~V\rightarrow\mK$を考える。$\mK=\mR$のとき,$g$は$f$から定まる$V$上の二次形式という。$\mK=\mC$のとき,$g$は$f$から定まる$V$上のエルミート形式という。

二次形式の複素拡張がエルミート形式になります。$\mK=\mR$のときは,二次形式とエルミート形式は等価になります。

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