本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
合成関数の二次偏導関数
$f(x,y)$は点$(x,y)$で全微分可能，$x,y$は微分可能な関数とし，$z=f(x,y)$とする。$x,y$が$t$の関数のときは，
\begin{align}
f_{tt} &= f_{xx}x_{t}^{2}+2f_{xy}x_{t}y_{t}+f_{yy}y_{t}^{2}+f_{x}x_{tt}+f_{y}y_{tt}\label{主題1}
\end{align}
f_{tt} &= f_{xx}x_{t}^{2}+2f_{xy}x_{t}y_{t}+f_{yy}y_{t}^{2}+f_{x}x_{tt}+f_{y}y_{tt}\label{主題1}
\end{align}
が成り立つ。$x,y$が$u,v$の関数のときは，
\begin{align}
f_{uu} &= f_{xx}x_{u}^{2}+2f_{xy}x_{u}y_{u}+f_{yy}y_{u}^{2}+f_{x}x_{uu}+f_{y}y_{uu}\label{主題2}\\[0.7em]
f_{uv} &= f_{vu} = f_{xx}x_{u}x_{v}+f_{xy}(x_{u}y_{v}+x_{v}y_{u})+f_{yy}y_{u}y_{v}+f_{x}x_{uv}+f_{y}y_{uv}\label{主題3}\\[0.7em]
f_{vv} &= f_{xx}x_{v}^{2}+2f_{xy}x_{v}y_{v}+f_{yy}y_{v}^{2}+f_{x}x_{vv}+f_{y}y_{vv}\label{主題4}\\[0.7em]
\end{align}
f_{uu} &= f_{xx}x_{u}^{2}+2f_{xy}x_{u}y_{u}+f_{yy}y_{u}^{2}+f_{x}x_{uu}+f_{y}y_{uu}\label{主題2}\\[0.7em]
f_{uv} &= f_{vu} = f_{xx}x_{u}x_{v}+f_{xy}(x_{u}y_{v}+x_{v}y_{u})+f_{yy}y_{u}y_{v}+f_{x}x_{uv}+f_{y}y_{uv}\label{主題3}\\[0.7em]
f_{vv} &= f_{xx}x_{v}^{2}+2f_{xy}x_{v}y_{v}+f_{yy}y_{v}^{2}+f_{x}x_{vv}+f_{y}y_{vv}\label{主題4}\\[0.7em]
\end{align}
が成り立つ。
証明を一度は追ってみるとよいでしょう。
証明
まず，式($\ref{主題1}$)から証明します。合成関数の偏微分と連鎖律より，
\begin{align}
f_{tt} &= \frac{d}{dt}\left(\frac{df}{dt}\right) \\[0.7em]
&= \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}\right) \\[0.7em]
&= \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}\right)+\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}\right)\\[0.7em]
&= \left\{\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial x}\frac{d}{dt}\left(\frac{dx}{dt}\right)\right\}+\left\{\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)\frac{dy}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dt}\right)\right\}\\[0.7em]
&= \left\{\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)x_{t}+f_{x}x_{tt}\right\}+\left\{\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)y_{t}+f_{y}y_{tt}\right\}\label{第一変形_1}
\end{align}
f_{tt} &= \frac{d}{dt}\left(\frac{df}{dt}\right) \\[0.7em]
&= \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}\right) \\[0.7em]
&= \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}\right)+\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}\right)\\[0.7em]
&= \left\{\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial x}\frac{d}{dt}\left(\frac{dx}{dt}\right)\right\}+\left\{\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)\frac{dy}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dt}\right)\right\}\\[0.7em]
&= \left\{\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)x_{t}+f_{x}x_{tt}\right\}+\left\{\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)y_{t}+f_{y}y_{tt}\right\}\label{第一変形_1}
\end{align}
と変形できます。ここで，再び合成関数の偏微分と連鎖律より，
\begin{align}
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) &= \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial^{2} f}{\partial xy}\frac{dy}{dt} = f_{xx}x_{t}+f_{xy}y_{t} \\[0.7em]
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) &= \frac{\partial^{2} f}{\partial yx}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}\frac{dy}{dt} = f_{yx}x_{t}+f_{yy}y_{t}
\end{align}
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) &= \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial^{2} f}{\partial xy}\frac{dy}{dt} = f_{xx}x_{t}+f_{xy}y_{t} \\[0.7em]
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) &= \frac{\partial^{2} f}{\partial yx}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}\frac{dy}{dt} = f_{yx}x_{t}+f_{yy}y_{t}
\end{align}
と計算できますので，式($\ref{第一変形_1}$)に代入すれば
\begin{align}
f_{tt}
&= \left\{\left(f_{xx}x_{t}+f_{xy}y_{t}\right)x_{t}+f_{x}x_{tt}\right\}+\left\{\left(f_{yx}x_{t}+f_{yy}y_{t}\right)y_{t}+f_{y}y_{tt}\right\} \\[0.7em]
&= f_{xx}x_{t}^{2}+2f_{xy}x_{t}y_{t}+f_{yy}y_{t}^{2}+f_{x}x_{tt}+f_{y}y_{tt}
\end{align}
f_{tt}
&= \left\{\left(f_{xx}x_{t}+f_{xy}y_{t}\right)x_{t}+f_{x}x_{tt}\right\}+\left\{\left(f_{yx}x_{t}+f_{yy}y_{t}\right)y_{t}+f_{y}y_{tt}\right\} \\[0.7em]
&= f_{xx}x_{t}^{2}+2f_{xy}x_{t}y_{t}+f_{yy}y_{t}^{2}+f_{x}x_{tt}+f_{y}y_{tt}
\end{align}
が得られます。ただし，シュワルツの定理より$f_{xy}=f_{yx}$を利用しました。
シュワルツの定理の証明は，実数の公理の議論などと併せて別途行う予定です。
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