本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
全微分可能性
領域$D\in\mR^{2}$で定義された$z=f(x,y)$に対して，
\begin{align}
f(a+h,b+k) - f(a,b) &= Ah+Bk+\varepsilon(h,k)\sqrt{h^2+k^2}\label{主題}
\end{align}
f(a+h,b+k) - f(a,b) &= Ah+Bk+\varepsilon(h,k)\sqrt{h^2+k^2}\label{主題}
\end{align}
と表すとき，$(h,k)\rarr(0,0)$において$\varepsilon(h,k)\rarr0$が成り立つような$A,B$が存在するならば，$f$は点$(a,b)$において全微分可能であるという。また，$z$が領域$D$の各点で全微分可能であるとき，$f$は領域$D$で全微分可能であるという。
全微分可能性から全微分が定義されます。
補足
全微分の定義で証明している通り，$A$と$B$はそれぞれ点$(a,b)$における$f$の$x,y$に関する偏導関数となります。すなわち，式($\ref{主題}$)は
\begin{align}
dz &= f_{x}(a,b)dx+f_{y}(a,b)dy
\end{align}
dz &= f_{x}(a,b)dx+f_{y}(a,b)dy
\end{align}
と表されます。
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