本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
収束する数列の有界性
収束する数列$(a_{n})_{n\in\mN}$は有界である。
直感的にも成り立つことが分かる性質です。
証明
$\lim_{n\rarr\infty}a_{n}=a$とおけば，収束の定義より任意の$\varepsilon$に対して$n_{0}\in\mN$が存在し，$n\geq n_{0}$のとき
\begin{align}
a-\varepsilon < a_{n} < a+\varepsilon
\end{align}
a-\varepsilon < a_{n} < a+\varepsilon
\end{align}
が成り立ちます。そこで，少なくとも
\begin{align}
\max\{|a_{0}|,|a_{1}|,\cdots,|a_{n_{0}-1}|,|a-\varepsilon|,|a+\varepsilon|\}
\end{align}
\max\{|a_{0}|,|a_{1}|,\cdots,|a_{n_{0}-1}|,|a-\varepsilon|,|a+\varepsilon|\}
\end{align}
とおけば，任意の$n\in\mN$に対して$a_{n}\leq M$となります。したがって，有界の定義より$a_{n}$は有界になります。
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