【徹底解説】第一種ベッセル関数の母関数

zuka

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zuka(@beginaid)です。

本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。記事一覧はこちらの目次ページからご覧ください。

初学者の分かりやすさを優先するため,多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。

目次

第一種ベッセル関数の母関数

第一種ベッセル関数は以下の母関数を持つ。

\begin{align}
\exp\left\{ \frac{x}{2}\left(t-\frac{1}{t}\right) \right\}
\end{align}

ただし,$t\in\bbR$とする。すなわち,第一種ベッセル関数を$J_{m}(x)$と置くと以下のように表される。

\begin{align}
\sum_{m=-\infty}^{\infty}J_{m}(x)t^m &= \exp\left\{ \frac{x}{2}\left(t-\frac{1}{t}\right) \right\} \label{定義}
\end{align}

ただし,$n\in\bbZ$とする。

ベッセル関数の導入にはいくつかの方法がありますが,ここでは母関数から定義する方針を採用します。ちなみに,$t$の定義域は複素数に拡張可能であると同時に,$m$の定義域も複素数に拡張可能です。

第一種ベッセル関数の導出

具体的に$J_{m}(x)$の形を求めてみましょう。母関数を二つの指数関数の積に分解し,それぞれをマクローリン展開します。

\begin{align}
\exp\left\{ \frac{x}{2}\left(t-\frac{1}{t}\right) \right\}
&= e^{xt/2}e^{-x/(2t)} \\[0.7em]
&= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\left(\frac{xt}{2}\right)^{k}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\left(\frac{-x}{2t}\right)^{n} \\[0.7em]
&= \sum_{k=0}^{\infty}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!k!}\left(\frac{x}{2}\right)^{k+n}t^{k-n}
\end{align}

ここで,$m=k-n$と置くと,

\begin{align}
\exp\left\{ \frac{x}{2}\left(t-\frac{1}{t}\right) \right\}
&= \sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!(m+n)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{m+2n}t^{m}
\end{align}

と変形できます。第一種ベッセル関数の定義($\ref{定義}$)より,$J_{m}(x)$は以下のように表されます。

\begin{align}
J_{m}(x) &= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!(m+n)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{m+2n}
\end{align}

ガンマ関数と階乗の関係を利用すると,第一種ベッセル関数は以下のように表すこともできます。

\begin{align}
J_{m}(x) &= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!\Gamma(m+n+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{m+2n}
\end{align}

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