【徹底解説】ワイヤストラスの公理

本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。

初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。

ワイヤストラスの公理

ワイヤストラスの公理には同値な表現が存在します。

補足

ワイヤストラスの公理より，以下が示されます。

以下，証明を行います。上限に対する主張を下限に対する主張に変換したいので，$A=-B$とおきます。すると，集合$B$の任意の元$b$に対し，$-b\in A$となります。このとき，$l$を$b$の下界とすると，下界の定義より$l\leq b$が成り立ちます。$B$は順序体ですので，$-l\geq-b\in A$が成り立ちます。したがって，上界の定義より$m=-l$が$A$の上界となります。$A$は空集合ではありませんので，ワイヤストラスの公理より$A$には上限$s$が存在します。$b\in B$に対し$-b\in A$であることに注意すると，上限の必要十分条件よりつぎの二つが成り立ちます。

1. 任意の$b\in B$に対し$-b\leq s$
2. 任意の$x<s$に対し，$x<-b$となる$b\in B$が存在する

$t=-s$，$y=-x$とおくと，上の二つはつぎの二つに言い換えられます。

3. 任意の$b\in B$に対し$b\geq t$
4. 任意の$y>t$に対し，$y>b$となる$b\in B$が存在する

この二つの条件は，$t$が$B$の下限である必要十分条件となっています。$t$は

と表されることから，冒頭の主張($\ref{主題}$)が示されました。