本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
互いに素な整数の積とそれらで割り切れる整数の関係
自然数$m_{1},\ldots,m_{k}$のどの二つも互いに素であるとき，整数$a$がこれらのいずれでも割り切れるならば，$a$は
\begin{align}
M &= \prod_{i=1}^{k}m_{i}
\end{align}
M &= \prod_{i=1}^{k}m_{i}
\end{align}
で割り切れる。
証明
帰納法で示します。$k{=}2$のとき，$m_{1},m_{2}$が互いに素ならば最大公約数が$1$となるため，整数の積の最大公約数と最小公倍数による表現より$m_{1},m_{2}$の最小公倍数は積$M{=}m_{1}m_{2}$となります。一方，$a$は$m_{1},m_{2}$のいずれでも割り切れることから$a$は$m_{1},m_{2}$の公倍数であり，$a$は$M$の倍数となります。したがって，$k{=}2$のときは題意を満たします。
$k{>}2$のとき，$m_{1},\ldots,m_{k}$のどの二つも互いに素となるため，互いに素な整数からなる積の性質より，積$m_{1}\cdots m_{k-1}$と$m_{k}$は互いに素になります。$m_{1}\cdots m_{k-1}$と$m_{k}$に$k{=}2$のときの議論を適用すると，全く同様にして$k{>}2$のときに題意をみたすことが示されます。
参考文献
本稿の執筆にあたり参考にした文献は，以下でリストアップしております。
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