本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
互いに素の性質（整数の積）
整数$m$が整数$m_{1},\ldots,m_{k}$のいずれとも互いに素であるならば，$m$は
\begin{align}
M &= \prod_{i=1}^{k}m_{i}
\end{align}
M &= \prod_{i=1}^{k}m_{i}
\end{align}
とも互いに素である。
整数論でよく利用される性質です。
証明
$d{=}\gcd(M,m)$とします。$d{>}1$であると仮定すると，素因数分解の一意性より$d$の約数で素数$p$が必ず存在します。$p$は$M$の約数であるため，整数の積と素数の関係より$p$は$m_{1},\ldots,m_{k}$のいずれかの約数となります。しかし，$p$は$m$の約数でもあるため，$m$が$m_{1},\ldots,m_{k}$と互いに素であるという仮定に反します。よって$d{=}1$となり，$m$と$M$が互いに素であることが示されました。
参考文献
本稿の執筆にあたり参考にした文献は，以下でリストアップしております。
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