【徹底解説】互いに素の性質<整数の積>

本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。

初学者の分かりやすさを優先するため,多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。

目次

互いに素の性質<整数の積>

$a$と互いに素な整数$m_{1},m_{2}$に対し,$m_{1}m_{2}$は$a$と互いに素となる。

整数論でよく利用される性質です。

証明

互いに素の定義より,

\begin{align}
\gcd(a,m_{1}) &= 1\\[0.7em]
\gcd(a,m_{2}) &= 1
\end{align}

が成り立ちます。ただし,$\gcd(x,y)$は整数$x,y$の最大公約数を表します。これは,$m_{1}$と$m_{2}$には$a$の約数が含まれていないことを示しています。したがって,積$m_{1}m_{2}$にも$a$の約数は含まれていません。すなわち,

\begin{align}
\gcd(a,m_{1}m_{2}) &= 1
\end{align}

となります。互いに素の定義より,$a$と$m_{1}m_{2}$が互いに素であることが示されました。

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