本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
整数の積の最大公約数と最小公倍数による表現
自然数$a,b$の最大公約数を$d$，最小公倍数を$m$とおくと，
\begin{align}
ab &= dm
\end{align}
ab &= dm
\end{align}
と表される。
証明
$m$は$a,b$の倍数であるから，自然数$a^{\prime},b^{\prime}$を用いて
\begin{align}
m = ab^{\prime} = a^{\prime}b\label{1}
\end{align}
m = ab^{\prime} = a^{\prime}b\label{1}
\end{align}
と表されます。また，積$ab$は$m$の倍数であるから，自然数$c$を用いて
\begin{align}
ab &= cm\label{2}
\end{align}
ab &= cm\label{2}
\end{align}
と表されるため，
\begin{align}
a = ca^{\prime},\quad b = cb^{\prime}\label{3}
\end{align}
a = ca^{\prime},\quad b = cb^{\prime}\label{3}
\end{align}
が得られます。これは$c$が$a,b$の公約数であることを表していますが，公約数は最大公約数の約数となることから，自然数$d^{\prime}$を用いて
\begin{align}
d &= cd^{\prime}\label{4}
\end{align}
d &= cd^{\prime}\label{4}
\end{align}
と表されます。これを式($\ref{2}$)に代入すると，
\begin{align}
ab &= d\frac{m}{d^{\prime}}
\end{align}
ab &= d\frac{m}{d^{\prime}}
\end{align}
が得られます。題意を示すためには$d^{\prime}{=}1$を示せばよいです。$a,b$は$d$の倍数であること，および式($\ref{3}$)と式($\ref{4}$)より，自然数$a^{\prime\prime},b^{\prime\prime}$を用いて
\begin{align}
a^{\prime} = d^{\prime}a^{\prime\prime},\quad
b^{\prime} = d^{\prime}b^{\prime\prime}
\end{align}
a^{\prime} = d^{\prime}a^{\prime\prime},\quad
b^{\prime} = d^{\prime}b^{\prime\prime}
\end{align}
と表されます。これを式($\ref{1}$)に代入して両辺を$d^{\prime}$で割ると，
\begin{align}
\frac{m}{d^{\prime}} = ab^{\prime\prime} = a^{\prime\prime}b
\end{align}
\frac{m}{d^{\prime}} = ab^{\prime\prime} = a^{\prime\prime}b
\end{align}
となるため，$m/d^{\prime}$は$a$と$b$の公倍数となります。しかし，$1{<}d^{\prime}$とすると
\begin{align}
0 < \frac{m}{d^{\prime}} < 1
\end{align}
0 < \frac{m}{d^{\prime}} < 1
\end{align}
となり，$m$が$a$と$b$の最小公倍数であることに反します。よって$d^{\prime}{=}1$となり，題意が示されました。
参考文献
本稿の執筆にあたり参考にした文献は，以下でリストアップしております。
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