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目次
特性関数
特性関数$\phi_X(t)$は以下のように定義される。
\begin{align}
\phi_X(t) &= E\left[e^{itX}\right]
\end{align}
\phi_X(t) &= E\left[e^{itX}\right]
\end{align}
なお，特性関数の複素共役を利用すると，以下が成り立つ。
\begin{align}
\overline{\phi_X(-t)}
&= \overline{E[e^{-itX}]} \\[0.7em]
&= E\left[\overline{e^{-itX}}\right] \notag \\[0.7em]
&= E\left[e^{itX}\right] \\[0.7em]
&= \phi_X(t) \label{特性関数の複素共役}
\end{align}
\overline{\phi_X(-t)}
&= \overline{E[e^{-itX}]} \\[0.7em]
&= E\left[\overline{e^{-itX}}\right] \notag \\[0.7em]
&= E\left[e^{itX}\right] \\[0.7em]
&= \phi_X(t) \label{特性関数の複素共役}
\end{align}
特性関数はモーメント母関数の複素拡張です。本書では，中心極限定理の証明やコーシー分布の導出に利用しています。特性関数と確率密度関数はフーリエ変換対になっていることが知られています。
参考文献
本稿の執筆にあたり参考にした文献は，以下でリストアップしております。
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