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目次
ベータ関数の対称性
ベータ関数は次のような対称性を持つ。
\begin{align}
B(a,b) &= B(b,a)
\end{align}
B(a,b) &= B(b,a)
\end{align}
証明
ベータ関数$B(a,b)$で$y=1-x$の置換積分を行うことにより，
\begin{align}
B(a,b)
&= \int_{0}^{1}x^{a-1}(1-x)^{b-1}dx
= \int_{1}^{0}(1-y)^{a-1}y^{b-1}(-dy)\\[0.7em]
&= \int_{0}^{1}y^{b-1}(1-y)^{a-1}dy
= B(b,a)
\end{align}
B(a,b)
&= \int_{0}^{1}x^{a-1}(1-x)^{b-1}dx
= \int_{1}^{0}(1-y)^{a-1}y^{b-1}(-dy)\\[0.7em]
&= \int_{0}^{1}y^{b-1}(1-y)^{a-1}dy
= B(b,a)
\end{align}
が得られます。
参考文献
本稿の執筆にあたり参考にした文献は，以下でリストアップしております。
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