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非心カイ二乗分布
$i=1,\ldots,n$に対し，互いに独立な確率変数$X_{i}\sim\N(\mu_{i},1)$を用いて
Y = \sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2},\quad \lambda = \sum_{i=1}^{n}\mu_{i}^{2}
\end{align}
とおくとき，$Y$が従う分布を自由度$n$，非心度$\lambda$の非心カイ二乗分布といい，$\chi^{2}(n,\lambda)$と表す。$\chi^{2}(n,\lambda)$の確率密度関数は下記となる。
f(y) &= \sum_{i=0}^{\infty}p_{i}(\lambda/2)g_{n+2i}(y)
\end{align}
ただし，
p_{i}(\lambda/2) &= \frac{(\lambda/2)^{i}}{i!}2^{-\lambda/2}
\end{align}
とおき，$g_{k}(y)$は$\chi^{2}(k)$の確率密度関数を表す。
通常のカイ二乗分布では，線形和をとる確率変数が従う分布に標準分布を指定していましたが，非心カイ二乗分布では平均$\mu$で分散$1$の正規分布を指定します。
証明
モーメント母関数と確率密度関数が一対一対応することを利用します。非心カイ二乗分布のモーメント母関数は，
E[e^{\theta Y}]
&= E[e^{\theta(X_{1}^{2}+\cdots+X_{n}^{2})}]\\[0.7em]
&= \prod_{i=1}^{n}E[e^{\theta X_{i}^{2}}]\\[0.7em]
&= \prod_{i=1}^{n}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left\{-\frac{(x-\mu_{i})^{2}}{2}+\theta x^{2}\right\}dx\\[0.7em]
&= \prod_{i=1}^{n}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left\{-\frac{1-2\theta}{2}x^{2}+\mu_{i}x-\frac{\mu_{i}^{2}}{2}\right\}dx\\[0.7em]
&= \prod_{i=1}^{n}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left\{-\frac{1-2\theta}{2}\left(x-\frac{\mu_{i}}{1-2\theta}\right)^{2}-\frac{\mu_{i}^{2}}{2}+\frac{\mu_{i}^{2}}{2(1-2\theta)}\right\}dx\\[0.7em]
&= \exp\left\{-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}\mu_{i}^{2}+\frac{1}{2(1-2\theta)}\sum_{i=1}^{n}\mu_{i}^{2}\right\}\notag\\[0.7em]
&\quad\quad\times\prod_{i=1}^{n}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left\{-\frac{1-2\theta}{2}\left(x-\frac{\mu_{i}}{1-2\theta}\right)^{2}\right\}dx\\[0.7em]
&= \exp\left\{-\frac{\lambda}{2}+\frac{\lambda}{2(1-2\theta)}\right\}\cdot\prod_{i=1}^{n}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left\{-\frac{1-2\theta}{2}\left(x-\frac{\mu_{i}}{1-2\theta}\right)^{2}\right\}dx\label{モーメント母関数}
\end{align}
と表されます。以下では，式($\ref{モーメント母関数}$)の積を第一項目と第二項目に分けて計算していきます。まず第一項目に関して，$e^{\lambda/\{2(1-2\theta)\}}$のマクローリン展開を利用することで，
\exp\left\{-\frac{\lambda}{2}+\frac{\lambda}{2(1-2\theta)}\right\}
&= \exp\left(-\frac{\lambda}{2}\right)\sum_{i=0}^{\infty}\frac{\{\lambda/2(1-2\theta)\}^{i}}{i!}\\[0.7em]
&= e^{-\lambda/2}\sum_{i=0}^{\infty}\frac{(\lambda/2)^{i}}{i!}(1-2\theta)^{-i}\label{第一項目}
\end{align}
が得られます。次に第二項目に関して，正規分布の形になっていることに着目します。そこで，
(1-2\theta)\left(x-\frac{\mu_{i}}{1-2\theta}\right)^{2} &= u^{2}
\end{align}
とおきます。$dx=(1-2\theta)^{-1/2}$となることに注意すると，第二項目は
&\prod_{i=1}^{n}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left\{-\frac{1-2\theta}{2}\left(x-\frac{\mu_{i}}{1-2\theta}\right)^{2}\right\}dx\notag\\[0.7em]
&\quad\quad= \prod_{i=1}^{n}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{u^{2}}{2}\right)(1-2\theta)^{-1/2}du\\[0.7em]
&\quad\quad= (1-2\theta)^{-n/2}\prod_{i=1}^{n}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{u^{2}}{2}\right)du\\[0.7em]
&\quad\quad= (1-2\theta)^{-n/2}\label{第二項目}
\end{align}
と変形できます。式($\ref{第一項目}$)と式($\ref{第二項目}$)を式($\ref{モーメント母関数}$)に代入すると，
E[e^{\theta Y}]
&= \sum_{i=0}^{\infty}\left[\left\{\frac{(\lambda/2)^{i}}{i!}e^{-\lambda/2}\right\}\cdot (1-2\theta)^{-n/2-i}\right]\\[0.7em]
&= \sum_{i=0}^{\infty}\left\{p_{i}(\lambda/2)\cdot (1-2\theta)^{-n/2-i}\right\}\\[0.7em]
\end{align}
となります。ただし，$p_{i}(\lambda/2)$は$\Po(\lambda/2)$の確率密度関数を表しています。$(1-2\theta)^{-n/2-i}$は$\chi^{2}(n+2i)$のモーメント母関数となり，確率密度関数が一対一対応することから，非心カイ二乗分布の確率密度関数$g(y)$は
g(y) &= \sum_{i=0}^{\infty}p_{i}(\lambda/2)g_{n+2i}(y)
\end{align}
と表されることが示されました。ただし，$g_{n+2i}(y)$は$\chi^{2}(n+2i)$の確率密度関数を表します。
参考文献
本稿の執筆にあたり参考にした文献は，以下でリストアップしております。
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