本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
二次形式の行列による表現
$V$を$\mK$上のベクトル空間，$f$を$V$上の二次形式またはエルミート形式とする。ただし，$\mK$は複素数空間$\mC$または実数空間$\mR$を表す。$\beta$を$V$の一つの基底とし，$A$を$\beta$に関する$f$の表現行列とする。$u$を$V$の任意の元とし，これらの$\beta$に関する座標ベクトルを
\begin{alignat}{2}
[u]_{\beta}&=\vx&&=[x_{1},\ldots,x_{n}]^{T}
\end{alignat}
[u]_{\beta}&=\vx&&=[x_{1},\ldots,x_{n}]^{T}
\end{alignat}
とする。このとき，$f$が二次形式ならば
\begin{align}
f(u) &= \vx^{T}A\vx
\end{align}
f(u) &= \vx^{T}A\vx
\end{align}
が成り立ち，$f$がエルミート形式ならば
\begin{align}
f(u) &= \overline{\vx}^{T}A\vx
\end{align}
f(u) &= \overline{\vx}^{T}A\vx
\end{align}
が成り立つ。
多くの書籍や資料では証明せずに用いられる定理です。
証明
双一次形式の行列による表現において，双一次形式を二次形式，共役双一次形式をエルミート形式に置き換えることにより，ただちに上の主張は示されます。
補足
逆に，ある正方行列$A=(a_{ij})\in M_{n}(\mK^{n})$に対し，
\begin{align}
f(\vx) &= \vx^{T}A\vx
\end{align}
f(\vx) &= \vx^{T}A\vx
\end{align}
で定義される写像$f:\mK^{n}\times\mK^{n}$を二次形式と定義することもできます。ただし，$M_{n}(\mK^{n})$は$\mK$上の$n$次元正方行列全体の集合を表します。同様に，
\begin{align}
f(\vx) &= \overline{\vx}^{T}A\vx
\end{align}
f(\vx) &= \overline{\vx}^{T}A\vx
\end{align}
で定義される写像$f:\mK^{n}\times\mK^{n}$をエルミート二次形式と定義することもできます。
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