【徹底解説】基底と同型写像

2022年5月17日

本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。

初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。

基底と同型写像

$V$ を $K$ 上の $n$ 次元ベクトル空間， $β = ⟨ u_{1}, \dots, u_{n} ⟩$ を $V$ の基底とする。ただし， $K$ は複素数空間 $C$ または実数空間 $R$ を表す。 $V$ の任意の元は基底の一次結合で一意的に表されることから，

\begin{aligned} (1) & φ (\sum_{i = 1}^{n} v_{i} u_{i}) & = [v_{1}, \dots, v_{n}]^{T} \end{aligned}

を満たす同型写像 $φ : V \to K^{n}$ を定義することができる。ただし， $v_{i}$ は実数とする。逆に，同型写像 $φ : V \to K^{n}$ があるとき， $K^{n}$ の標準基底 $⟨ e_{1}, \dots, e_{n} ⟩$ と $i = 1, \dots, n$ に対し，

\begin{aligned} (2) & u_{i} & = φ^{- 1} (e_{i}) \end{aligned}

とすると， $β = ⟨ u_{1}, \dots, u_{n} ⟩$ は $V$ の基底となる。

$V$ の基底を一つ選ぶことは， $V$ から $K^{n}$ への同型写像を一つ選ぶことに相当するということです。

証明

ベクトル空間と同型の性質を利用すると， $K^{n}$ 上の $n$ 次元ベクトル空間 $V$ と $K^{n}$ は同型になりますので，写像 $φ$ は同型写像になります。逆に，同型写像 $φ : V \to K^{n}$ があるとき，全単射な写像の逆変換も全単射となりますので，同型写像 $φ$ の逆写像 $φ^{- 1}$ は存在し，かつ $φ^{- 1}$ は同型写像となります。すると， $V$ の任意の元は $u_{1}, \dots, u_{n}$ の一次結合で表されますので， $β = ⟨ u_{1}, \dots, u_{n} ⟩$ は $V$ の基底となります。

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