【徹底解説】正規直交系の拡大

本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。

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正規直交系の拡大

一次独立な元の集合と基底を内積空間に適用した定理といえます。

証明

$v_1,\dots ,v_r$は$V$の正規直交系ですので，一次独立になります。一次独立な元の集合と基底より，一次独立な元の集合$\{v_1,\dots ,v_r\}$を$V$の基底$\{v_1,\dots ,v_r,w_{r+1}\dots ,w_n\}$を作ることができます。これをグラム・シュミットの正規直交化法により正規直交基底にすることで，$V$の正規直交基底$\{v_1,\dots ,v_r,\dots ,v_n\}$を作ることができます。