【徹底解説】行列式の性質＜積の行列式＞

2022年5月4日

本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。

初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。

行列式の性質＜積の行列式＞

$n$ 次正方行列 $A$ の行列式 $det (A)$ は以下の性質をもつ。

行列式の性質一覧はこちらのページより確認できます。

行列式写像を $B$ の関数 $D (B)$ とみて

\begin{aligned} (1) & D (B) & = det (A B) \end{aligned}

とする。行列式写像の定義より $D (B)$ は $n$ 重線型かつ交代的ですので，正規化条件を除いた行列式写像の性質より，

\begin{aligned} (2) & D (B) & = det (B) D (I_{n}) \end{aligned}

が成り立ちます。ただし， $I_{n}$ は $n$ 次単位行列を表します。いま，式( $1$ )に $B = I_{n}$ を代入すると $D (I_{n}) = det (A)$ となりますので，式( $2$ )に代入すると

\begin{aligned} (3) & D (B) & = det (B) det (A) \end{aligned}

が得られます。式( $1$ )より $D (B)$ は $det (A B)$ を表していましたので，積の行列式は行列式の積で表されることが示されました。

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