本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
固有多項式
$A\in M_{n}(\mK)$とする。ただし，$\mK$は実数空間$\mR$または複素数空間$\mC$を表し，$M_{n}(\mK)$は$\mK$の元を成分とする$n$次元正方行列の集合を表す。このとき，
\begin{align}
f_{A}(x) &= \det \left(xI_{n}-A\right) \label{主題}
\end{align}
f_{A}(x) &= \det \left(xI_{n}-A\right) \label{主題}
\end{align}
で表される$f_{A}(x)$を固有多項式または特性多項式という。ただし，$\det$は行列式写像を表し，$I_{n}$は$n$次元単位行列を表す。
固有多項式は固有値と固有ベクトルの定義から導出されます。以下で説明します。
導出
\begin{align}
A\vx &= \alpha \vx
\end{align}
A\vx &= \alpha \vx
\end{align}
が成り立ちます。すなわち，
\begin{align}
\left(A- \alpha I\right)\vx &= 0 \label{変形}
\end{align}
\left(A- \alpha I\right)\vx &= 0 \label{変形}
\end{align}
が成り立ちます。すなわち，$\alpha\in \mK$が$A$の固有値であることは，連立一次方程式($\ref{変形}$)が自明でない解$\vx\in\mK^{n}$をもつことと同等になります。すると，非自明な解と行列式の関係より，行列$A$に固有値が存在するための必要十分条件は
\begin{align}
\det(\alpha I_{n}-A) &= 0 \label{行列式}
\end{align}
\det(\alpha I_{n}-A) &= 0 \label{行列式}
\end{align}
となります。式($\ref{行列式}$)の固有値$\alpha$を変数として改めて$x$とおくと，式($\ref{行列式}$)の左辺は固有多項式に一致します。すなわち，$\alpha\in \mK$が$A$の固有値であることは$f_{A}(\alpha)=0$であることと同等になります。
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