本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
第一種ベッセル関数の母関数
第一種ベッセル関数は以下の母関数を持つ。
\begin{align}
\exp\left\{ \frac{x}{2}\left(t-\frac{1}{t}\right) \right\}
\end{align}
\exp\left\{ \frac{x}{2}\left(t-\frac{1}{t}\right) \right\}
\end{align}
ただし，$t\in\bbR$とする。すなわち，第一種ベッセル関数を$J_{m}(x)$と置くと以下のように表される。
\begin{align}
\sum_{m=-\infty}^{\infty}J_{m}(x)t^m &= \exp\left\{ \frac{x}{2}\left(t-\frac{1}{t}\right) \right\} \label{定義}
\end{align}
\sum_{m=-\infty}^{\infty}J_{m}(x)t^m &= \exp\left\{ \frac{x}{2}\left(t-\frac{1}{t}\right) \right\} \label{定義}
\end{align}
ただし，$n\in\bbZ$とする。
ベッセル関数の導入にはいくつかの方法がありますが，ここでは母関数から定義する方針を採用します。ちなみに，$t$の定義域は複素数に拡張可能であると同時に，$m$の定義域も複素数に拡張可能です。
第一種ベッセル関数の導出
具体的に$J_{m}(x)$の形を求めてみましょう。母関数を二つの指数関数の積に分解し，それぞれをマクローリン展開します。
\begin{align}
\exp\left\{ \frac{x}{2}\left(t-\frac{1}{t}\right) \right\}
&= e^{xt/2}e^{-x/(2t)} \\[0.7em]
&= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\left(\frac{xt}{2}\right)^{k}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\left(\frac{-x}{2t}\right)^{n} \\[0.7em]
&= \sum_{k=0}^{\infty}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!k!}\left(\frac{x}{2}\right)^{k+n}t^{k-n}
\end{align}
\exp\left\{ \frac{x}{2}\left(t-\frac{1}{t}\right) \right\}
&= e^{xt/2}e^{-x/(2t)} \\[0.7em]
&= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\left(\frac{xt}{2}\right)^{k}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\left(\frac{-x}{2t}\right)^{n} \\[0.7em]
&= \sum_{k=0}^{\infty}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!k!}\left(\frac{x}{2}\right)^{k+n}t^{k-n}
\end{align}
ここで，$m=k-n$と置くと，
\begin{align}
\exp\left\{ \frac{x}{2}\left(t-\frac{1}{t}\right) \right\}
&= \sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!(m+n)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{m+2n}t^{m}
\end{align}
\exp\left\{ \frac{x}{2}\left(t-\frac{1}{t}\right) \right\}
&= \sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!(m+n)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{m+2n}t^{m}
\end{align}
と変形できます。第一種ベッセル関数の定義($\ref{定義}$)より，$J_{m}(x)$は以下のように表されます。
\begin{align}
J_{m}(x) &= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!(m+n)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{m+2n}
\end{align}
J_{m}(x) &= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!(m+n)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{m+2n}
\end{align}
ガンマ関数と階乗の関係を利用すると，第一種ベッセル関数は以下のように表すこともできます。
\begin{align}
J_{m}(x) &= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!\Gamma(m+n+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{m+2n}
\end{align}
J_{m}(x) &= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!\Gamma(m+n+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{m+2n}
\end{align}
コメント