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目次
F分布とカイ二乗分布
$X$が自由度$(p,q)$のF分布に従うとき，$q\rightarrow \infty$とすると$pX$は自由度$p$のカイ二乗分布に従う。
証明
$Y=pX$と置くと，$Y$の確率密度関数は以下のように表されます。
\begin{align}
f(y) &= \frac{\Gamma(p/2+q/2)p^{p/2}q^{q/2}}{\Gamma(p/2)\Gamma(q/2)}\frac{y^{p/2-1}}{(y+q)^{(p+q)/2}} \\[0.7em]
&= \frac{y^{p/2-1}}{\Gamma(p/2)}\cdot \frac{\Gamma(p/2+q/2)p^{p/2}q^{q/2}}{\Gamma(q/2)(y+q)^{(p+q)/2}} \\[0.7em]
&= \frac{y^{p/2-1}}{\Gamma(p/2)}\cdot \left(\frac{q}{y+q}\right)^{q/2}\cdot \frac{\Gamma(p/2+q/2)}{\Gamma(q/2)(y+q)^{p/2}} \\[0.7em]
&= \frac{y^{p/2-1}}{\Gamma(p/2)}\cdot g(q) \cdot h(q)
\end{align}
f(y) &= \frac{\Gamma(p/2+q/2)p^{p/2}q^{q/2}}{\Gamma(p/2)\Gamma(q/2)}\frac{y^{p/2-1}}{(y+q)^{(p+q)/2}} \\[0.7em]
&= \frac{y^{p/2-1}}{\Gamma(p/2)}\cdot \frac{\Gamma(p/2+q/2)p^{p/2}q^{q/2}}{\Gamma(q/2)(y+q)^{(p+q)/2}} \\[0.7em]
&= \frac{y^{p/2-1}}{\Gamma(p/2)}\cdot \left(\frac{q}{y+q}\right)^{q/2}\cdot \frac{\Gamma(p/2+q/2)}{\Gamma(q/2)(y+q)^{p/2}} \\[0.7em]
&= \frac{y^{p/2-1}}{\Gamma(p/2)}\cdot g(q) \cdot h(q)
\end{align}
ただし，
\begin{align}
g(q) &= \left(\frac{y+q}{q}\right)^{-q/2} \\[0.7em]
h(q) &= \frac{\Gamma(p/2+q/2)}{\Gamma(q/2)(y+q)^{p/2}}
\end{align}
g(q) &= \left(\frac{y+q}{q}\right)^{-q/2} \\[0.7em]
h(q) &= \frac{\Gamma(p/2+q/2)}{\Gamma(q/2)(y+q)^{p/2}}
\end{align}
と置きました。さて，$g(q)$と$h(q)$の極限を考えましょう。まず，$g(q)$に関しては，
\begin{align}
\lim_{q\rightarrow \infty} g(q) &= \lim_{q\rightarrow \infty} \left\{\left(1+\frac{y}{q}\right)^{-q/y}\right\}^{-y/2} \\[0.7em]
&= e^{-y/2}
\end{align}
\lim_{q\rightarrow \infty} g(q) &= \lim_{q\rightarrow \infty} \left\{\left(1+\frac{y}{q}\right)^{-q/y}\right\}^{-y/2} \\[0.7em]
&= e^{-y/2}
\end{align}
と計算できます。次に，$h(q)$に関してはスターリングの近似のガンマ関数への拡張を用いると，$q$が十分大きいときに，
\begin{align}
g(p) &= \frac{\sqrt{4\pi/(p+q)}\left\{(p+q)/(2e)\right\}^{(p+q)/2}}{\sqrt{4\pi/q}\left\{q/(2e)\right\}^{q/2}(y+q)^{p/2}} \\[0.7em]
&= \left(1+p/q\right)^{-1/2}(2e)^{-p/2}\left(1+\frac{p}{q}\right)^{q/2}\left(\frac{p/q+1}{y/q+1}\right)^{p/2} \\[0.7em]
&= 2^{-p/2}\left(1+p/q\right)^{-1/2}e^{-p/2}\left\{\left(1+\frac{p}{q}\right)^{q/p}\right\}^{p/2}\left(\frac{p/q+1}{y/q+1}\right)^{p/2}
\end{align}
g(p) &= \frac{\sqrt{4\pi/(p+q)}\left\{(p+q)/(2e)\right\}^{(p+q)/2}}{\sqrt{4\pi/q}\left\{q/(2e)\right\}^{q/2}(y+q)^{p/2}} \\[0.7em]
&= \left(1+p/q\right)^{-1/2}(2e)^{-p/2}\left(1+\frac{p}{q}\right)^{q/2}\left(\frac{p/q+1}{y/q+1}\right)^{p/2} \\[0.7em]
&= 2^{-p/2}\left(1+p/q\right)^{-1/2}e^{-p/2}\left\{\left(1+\frac{p}{q}\right)^{q/p}\right\}^{p/2}\left(\frac{p/q+1}{y/q+1}\right)^{p/2}
\end{align}
となるため，$q\rightarrow \infty$の極限は以下のように計算されます。
\begin{align}
\lim_{q\rightarrow \infty} h(q) &= 2^{-p/2}\cdot 1 \cdot e^{-p/2} \cdot e^{p/2} \cdot 1 \\[0.7em]
&= 2^{-p/2}
\end{align}
\lim_{q\rightarrow \infty} h(q) &= 2^{-p/2}\cdot 1 \cdot e^{-p/2} \cdot e^{p/2} \cdot 1 \\[0.7em]
&= 2^{-p/2}
\end{align}
したがって，$q\rightarrow \infty$のとき$f$は以下のように表されます。
\begin{align}
\lim_{q\rightarrow \infty} f(y) &= \frac{y^{p/2-1}}{\Gamma(p/2)}\cdot \lim_{q\rightarrow \infty}g(q) \cdot \lim_{q\rightarrow \infty} h(q) \\[0.7em]
&= \frac{y^{p/2-1}e^{-y/2}}{2^{p/2}\Gamma(p/2)}
\end{align}
\lim_{q\rightarrow \infty} f(y) &= \frac{y^{p/2-1}}{\Gamma(p/2)}\cdot \lim_{q\rightarrow \infty}g(q) \cdot \lim_{q\rightarrow \infty} h(q) \\[0.7em]
&= \frac{y^{p/2-1}e^{-y/2}}{2^{p/2}\Gamma(p/2)}
\end{align}
これは自由度$p$のカイ二乗分布の確率密度関数を表しています。
参考文献
本稿の執筆にあたり参考にした文献は，以下でリストアップしております。
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