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ガンマ分布とガンマ関数
ガンマ分布とガンマ関数の関係は以下で表される。
\begin{align}
\int_{0}^{\infty} x^{n-1} e^{-\lambda x} dx &= \frac{\Gamma(n)}{\lambda^{n}} \label{ガンマ分布とガンマ関数}
\end{align}
\int_{0}^{\infty} x^{n-1} e^{-\lambda x} dx &= \frac{\Gamma(n)}{\lambda^{n}} \label{ガンマ分布とガンマ関数}
\end{align}
ガンマ分布の確率密度関数から導かれる基本的な等式です。
証明
ガンマ分布の確率密度関数を積分すると$1$になりますので，
\begin{align}
\int_{0}^{\infty} \frac{\lambda^{n}}{\Gamma(n)}x^{n-1} e^{-\lambda x} &= 1
\end{align}
\int_{0}^{\infty} \frac{\lambda^{n}}{\Gamma(n)}x^{n-1} e^{-\lambda x} &= 1
\end{align}
が成り立ちます。したがって，定数部分を積分の外に出すことで，式($\ref{ガンマ分布とガンマ関数}$)が成り立ちます
参考文献
本稿の執筆にあたり参考にした文献は，以下でリストアップしております。
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