統計検定1級の過去問解答解説を行います。目次は以下をご覧ください。
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問題
統計検定1級の過去問からの出題になります。統計検定の問題の著作権は日本統計学会に帰属していますので，本稿にて記載することはできません。「演習問題を俯瞰する」で詳しく紹介している公式の過去問題集をご購入いただきますようお願い致します。
解答
一様分布の不偏推定量に関する出題でした。
(1)
$i=1,\ldots,n$に対し，$\theta$の尤度関数は
l(\theta) =
\begin{cases}
\displaystyle
\frac{1}{\theta^{n}}&(0<x_{i}\leq \theta\text{のとき})\\[0.7em]
\displaystyle
0&(\text{その他})
\end{cases}
\end{align}
となる。$\theta<x_{i}$なる$x_{i}$が$1$つでも存在した場合には尤度関数は$0$となるため，全ての$i=1,\ldots,n$に対し$x_{i}\leq\theta$を満たすように$\theta$を定めればよい。最尤推定では実現値$x_{i}$を用いて$\theta$を表すため，$\theta=x_{\max}$と定めればよいことが分かる。
(2)
$X$の期待値は
E[X] &= \int_{0}^{\theta}x\frac{1}{\theta}dx
= \frac{1}{\theta}\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{\theta}
= \frac{\theta}{2}
\end{align}
であることから，
E[\theta^{\prime}]
= \frac{2}{n}\sum_{i=1}^{n}E[X_{i}]
= \frac{2}{n}\frac{n\theta}{2} = \theta
\end{align}
が得られ，$\theta^{\prime}$が$\theta$の不偏推定量であることが示された。
(3)
$X_{\max}$の累積分布関数は
G(x) &= P(X_{\max}\leq x) = \left(\int_{0}^{x}\frac{1}{\theta}dx\right)^{n} = \left(\frac{x}{\theta}\right)^{n}
\end{align}
であるため，$X_{\max}$の確率密度関数は
g(x) &= G^{\prime}(x) = \frac{n}{\theta}\left(\frac{x}{\theta}\right)^{n-1}
\end{align}
となる。したがって，$X_{\max}$の期待値は
E[X_{\max}]
&= \int_{0}^{\theta}x\frac{n}{\theta}\left(\frac{x}{\theta}\right)^{n-1}dx
= \frac{n}{\theta^{n}}\int_{0}^{\theta}x^{n}dx
= \frac{n}{\theta^{n}}\left[\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]_{0}^{\theta}
= \frac{n}{\theta^{n}}\frac{\theta^{n+1}}{n+1}
= \frac{n}{n+1}\theta
\end{align}
となり，$E[\theta^{\prime\prime}]=\theta$が得られるため，$\theta^{\prime\prime}$が$\theta$の不偏推定量であることが示された。
順序統計量の分布に関する問題でした。
(4)
$X^{2}$の期待値は
E[X^{2}] &= \int_{0}^{\theta}x^{2}\frac{1}{\theta}dx
= \frac{1}{\theta}\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{\theta}
= \frac{\theta^{2}}{3}
\end{align}
であるため，
V[X] &= E[X^{2}]-E[X]^{2} = \frac{\theta^{2}}{3}-\frac{\theta^{2}}{4} = \frac{\theta^{2}}{12}
\end{align}
が得られる。同様に，$X_{\max}^{2}$の期待値は
E[X_{\max}^{2}]
&{=} \int_{0}^{\theta}x^{2}\frac{n}{\theta}\left(\frac{x}{\theta}\right)^{n-1}dx
{=} \frac{n}{\theta^{n}}\int_{0}^{\theta}x^{n+1}dx
{=} \frac{n}{\theta^{n}}\left[\frac{x^{n+2}}{n+2}\right]_{0}^{\theta}
{=} \frac{n}{\theta^{n}}\frac{\theta^{n+2}}{n+2}
{=} \frac{n}{n+2}\theta^{2}
\end{align}
であるため，
V[X_{\max}] &= E[X_{\max}^{2}]-E[X_{\max}]^{2}
= \frac{n}{n+2}\theta^{2} - \left(\frac{n}{n+1}\theta\right)^{2}
= \frac{\theta^{2}}{(n+1)^{2}(n+2)}
\end{align}
が得られる。これらより，
\frac{V[\theta^{\prime}]}{V[\theta^{\prime\prime}]}
&= \frac{4V[\barX]}{(n+1)^{2}V[X_{\max}]/n^{2}}
= \frac{4V[X]/n}{(n+1)^{2}V[X_{\max}]/n^{2}}\\[0.7em]
&= \frac{4\theta^{2}/(12n)}{(n+1)^{2}\theta^{2}/(n^{2}(n+1)^{2}(n+2))}
= \frac{n+2}{3}
\end{align}
が得られる。したがって，$1<n$のときは$V[\theta^{\prime\prime}]<V[\theta^{\prime}]$となるため，$\theta^{\prime\prime}$の方が推定量として望ましい。
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