【過去問解答】2016年統計検定1級<統計数理4>

統計検定1級の過去問解答解説を行います。目次は以下をご覧ください。

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問題

統計検定1級の過去問からの出題になります。統計検定の問題の著作権は日本統計学会に帰属していますので,本稿にて記載することはできません。「演習問題を俯瞰する」で詳しく紹介している公式の過去問題集をご購入いただきますようお願い致します。

解答

モンテカルロ法に関する出題でした。

(1)

Xは確率θ0以上1以下となるため,X二項分布Bin(n,θ)に従う。よって,

(1)V[θ^1]=1n2V[X]=1n2nθ(1θ)=θ(1θ)n0.3413(10.3413)n=0.2248n

となる。

小問(3)と小問(4)を見据えてθ0.3413を代入しています。

(2)

Xは確率2θ1以上1以下となるため,X二項分布Bin(n,2θ)に従う。よって,

(2)V[θ^1]=14n2V[X]=14n22nθ(12θ)=θ(0.5θ)n0.3413(0.50.3413)n=0.0542n

となる。

小問(3)と小問(4)を見据えてθ0.3413を代入しています。

(3)

U1,,Unは独立であることから,

(3)V[θ^3]=12πn2i=1nV[eUi2/2]=12πn2i=1n(E[eUi2]E[eUi2/2]2)(4)=12πn2i=1n{E[eUi2]2πE[12πexp(Ui22)]2}(5)=12πn2i=1n(E[eUi2]2πθ2)

が得られる。ここで,Uが区間[0,1]上の一様分布に従うこと,および区間[0,1]上の一様分布の確率密度関数は1であることより,

(6)E[eU2]=01eu2du=1202ez2/2du=2π212π02ez2/2du(7)=πP(0Z2)

が得られる。ただし,u2=z2/2とおいた。以上より,π1.7725および標準正規分布表の値を用いると,

(8)V[θ^3]=12πn2i=1n(πP(0Z2)2πθ2)=1n(P(0Z2)2πθ2)(9)=1n{0.5P(2<Z)2πθ2}=1n(0.420721.77250.34132)=0.0022n

公式解答は0.0023/nとなっていますが,0.0022/nが正しいと思われます。

補足として,問題文で与えられたθの定義を確認しておきます。Uが区間[0,1]上の一様分布に従うため,

(10)E[12πexp(U22)]=01112πexp(u22)du=θ

が得られます。

(4)

θ^2ではおおよそ2411個,θ^3ではおおよそ103個必要となる。

小問(1)よりn=10000のときV[θ^1]2.248×105となるため,小問(2)と小問(3)の結果より,θ^2では

(11)n=5.42×1022.248×1052411

となり,θ^3では

(12)n=2.3×1032.248×105102.3103

となります。ただし,解答は小数第一位を切り上げました。

小数第一位を四捨五入して答えてもよいですしょう。公式解答では小数第一位まで解答していますが,一般に乱数の個数は整数となるため,整数で答えた方がよいと考えられます。

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目次
  1. 問題
  2. 解答
    1. (1)
    2. (2)
    3. (3)
    4. (4)