【過去問解答】2015年統計検定1級＜統計数理3＞

相関係数の定義より，

となるため，

と変形できる。ただし，$S_{yy}=\sum_{i=1}^{n}(y_{i}-\bary)^{2}$とおいた。$|r_{12}|<1$に注意すると$\hat{\beta}_{1}$の符号は$r_{1y}-r_{12}r_{2y}$の符号と一致するため，$\hat{\beta}_{1}<0$となるための必要十分条件は$r_{1y}-r_{12}r_{2y}<0$である。このことから，$r_{2y}>0$のとき，$r_{1y}>0$であっても$r_{12}$が$1$に近い値を取っている場合は$r_{1y}-r_{12}r_{2y}<0$となり，$\hat{\beta}_{1}<0$となりやすいことがわかる。

正規方程式の解は

と表されるため，

となることに注意すると，

が得られる。したがって，$\hat{\beta}$の分散共分散行列$\Sigma$は，

となる。ところで，小問(1)より

を求めればよい。$V[\hat{\beta}_{1}]$は$\Sigma$の$(2,2)$要素$\Sigma_{22}$であるため，余因子展開により

が得られる。同様に，$V[\hat{\beta}_{2}]$は$\Sigma$の$(3,3)$要素$\Sigma_{33}$であるため，余因子展開により

が得られる。$r_{12}=0$のとき，$V[\hat{\beta}_{1}]=\sigma^{2}/S_{11}$，$V[\hat{\beta}_{2}]=\sigma^{2}/S_{22}$となる。$r_{12}\neq 0$のとき，$|r_{12}|$が$1$に近い値を取るほど，$V[\hat{\beta}_{1}]$と$V[\hat{\beta}_{2}]$は$r_{12}=0$のときより大きな値を取る。

$y_{k}=\beta_{0}+\beta_{1}x_{1k}+\beta_{2}x_{2k}+\varepsilon_{k}$の右辺で確率変数は$\varepsilon_{k}$だけであること，および$\varepsilon_{1},\ldots,\varepsilon_{n}$はそれぞれ独立であることに注意すると，$\tilde{\beta}_{1}$の分散は

となる。よって，$\hat{\beta}_{1}$の分散と$\tilde{\beta}_{1}$の分散の差は

となり，$r_{12}^{2}$の単調増加関数として表される。同様に，$\tilde{\beta}_{1}$の期待値は

となる。ただし，$x_{1}$は標本平均$0$であることを利用した。ところで，

であることを利用すると，平均二乗誤差の定義より，

が得られる。一方，

となるため，上の結果を用いることにより，

となる。よって，$V[\hat{\beta}_{2}]{\geq}\beta_{2}^{2}$ならば$\mathrm{MSE}[\hat{\beta}_{1}]\geq\mathrm{MSE}[\tilde{\beta}_{1}]$，$V[\hat{\beta}_{2}]{<}\beta_{2}^{2}$ならば$\mathrm{MSE}[\hat{\beta}_{1}]{<}\mathrm{MSE}[\tilde{\beta}_{1}]$となる。