【徹底解説】関数方程式と線形性

zuka

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zuka(@beginaid)です。

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目次

はじめに

本稿では,以下を証明します。

\begin{align}
f(ax+by) &= af(x)+bf(y) \label{eq:linear0}
\end{align}

を満たす連続関数$f$の解は,

\begin{align}
f(x) &= cx
\end{align}

のみである。ただし,$c \in \bbR$とする。

方針

線形性を満たす関数方程式を解くために,問題を分割して考えましょう。以下では,$c \in \bbR$とします。まずは,以下の和に関する関数方程式を証明します。

\begin{align}
f(x+y) &= f(x)+f(y) \label{eq:linear1}
\end{align}

を満たす連続関数$f$の解は,

\begin{align}
f(x) &= cx
\end{align}

のみである。

式($\ref{eq:linear1}$)を利用して,以下の定数倍に関する関数方程式を証明します。

\begin{align}
f(ax) &= af(x) \label{eq:linear2}
\end{align}

を満たす連続関数$f$の解は,

\begin{align}
f(x) &= cx
\end{align}

のみである。

式($\ref{eq:linear1}$)と式($\ref{eq:linear2}$)を利用すると,以下のように線形和に関する関数方程式を示すことができます。

\begin{align}
f(ax+by) &= f(ax) + f(by) \\[0.7em]
&= af(x) + bf(y)
\end{align}

を満たす連続関数$f$の解は,

\begin{align}
f(x) &= cx
\end{align}

のみである。

証明

では早速,式($\ref{eq:linear1}$)と式($\ref{eq:linear2}$)を証明していきます。

和に関する証明

以下の関数方程式は,コーシー(Cauchy)の関数方程式と呼ばれています。

\begin{align}
f(x+y) &= f(x) + f(y) \label{cauchy}
\end{align}

連続関数$f$が式($\ref{cauchy}$)を満たすとき,整数$n$に対して以下が成り立ちます。

\begin{align}
f(n) &= f(1) + f(n-1) \\[0.7em]
&= f(1) + f(1) + f(n-2) \\[0.7em]
&\quad\quad\quad\vdots \\[0.7em]
&= nf(1)
\end{align}

したがって,整数$m, n$を用いて表される有理数$p=n/m$に対して以下が成り立ちます。

\begin{align}
mf(p) &= mf\left( \frac{n}{m} \right) \\[0.7em]
&= f\left(m \cdot \frac{n}{m} \right) \\[0.7em]
&= f(n) \\[0.7em]
&= nf(1)
\end{align}

したがって,以下が成り立ちます。

\begin{align}
f(p) &= \frac{n}{m} f(1) \\[0.7em]
&= pf(1)
\end{align}

有理数の稠密性より,連続関数$f$において有理数$p$に対して成り立つ命題は実数$x$に対しても成り立ちます。したがって,$c=f(1)$とおくと,

\begin{align}
f(x) &= xf(1) \\[0.7em]
&= cx
\end{align}

となり,Cauchyの関数方程式を証明することができました。

定数倍に関する証明

定数倍に関する関数方程式

\begin{align}
f(ax) &= af(x)
\end{align}

は,Cauchyの関数方程式を利用して解くことができます。すなわち,式($\ref{cauchy}$)を満たす連続関数は$f=cx$だけですので,

\begin{align}
f(ax) &= f(x) + f\left\{ (a-1)x \right\}
\end{align}

を満たす連続関数は$f=cx$のみです。これを繰り返し適用すると,

\begin{align}
f(ax) &= f(x) + \cdots + f(x) \\[0.7em]
&= af(x)
\end{align}

を満たす連続関数は$f=cx$のみになります。

線形和に関する証明

Cauchyの関数方程式を利用すると,

\begin{align}
f(ax+by) &= f(ax)+f(by)
\end{align}

を満たす連続関数$f$の解は$f=cx$のみとなります。加えて,定数倍に関する関数方程式を利用すると,

\begin{align}
f(ax) &= af(x)
\end{align}

を満たす$f$は$f=cx$のみですし,

\begin{align}
f(bx) &= bf(x)
\end{align}

を満たす$f$も$f=cx$のみですので,

\begin{align}
f(ax)+f(by) &= af(x) + bf(y)
\end{align}

を満たす$f$は$f=cx$のみになります。以上より,

\begin{align}
f(ax+by) &= af(x)+bf(y)
\end{align}

を満たす$f$は$f(x)=cx$のみであることが示されました。

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