本記事では，数学検定1級で頻出の四面体の体積の求め方についてまとめていきます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
四面体の体積の求め方
- 外積を用いる方法1
-
底面の面積および方程式を外積から求め，頂点から底面への距離を利用する
- 外積を用いる方法2
-
\begin{align}
\frac{1}{6}\left|(\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB})\cdot\overrightarrow{OC}\right|
\end{align} - 行列式を用いる方法
-
4点$P_{i}(x_{i}, y_{i}, z_{i})$を頂点にもつ四面体は行列式を用いて下記のように求められる
\begin{align}
V &=\mathrm{abs}
\left( \frac{1}{6}
\begin{vmatrix}
x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\
x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\
x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\
x_4 & y_4 & z_4 & 1
\end{vmatrix}
\right)
\end{align}特に，4点$P_{i}(x_{i}, y_{i}, z_{i})$が原点を含む場合は下記のように求められる。
\begin{align}
V &=\mathrm{abs}
\left( \frac{1}{6}
\begin{vmatrix}
x_1 & y_1 & z_1 \\
x_2 & y_2 & z_2 \\
x_3 & y_3 & z_3
\end{vmatrix}
\right)
\end{align}
行列式を用いると楽に計算できることが多いです。
証明・例題とその解説
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