本記事では，数学検定1級で頻出の四面体の体積の求め方についてまとめていきます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
四面体の体積の求め方
- 外積を用いる方法1
-
底面の面積および方程式を外積から求め，頂点から底面への距離を利用する
- 外積を用いる方法2
-
\begin{align}
\frac{1}{6}\left|(\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB})\cdot\overrightarrow{OC}\right|
\end{align} - 行列式を用いる方法
-
$P_{i}(x_{i}, y_{i}, z_{i})$を頂点にもつ四面体は行列式を用いて下記のように求められる
\begin{align}
V &=\mathrm{abs}
\left( \frac{1}{6}
\begin{vmatrix}
x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\
x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\
x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\
x_4 & y_4 & z_4 & 1
\end{vmatrix}
\right)
\end{align}
行列式を用いた方が比較的簡単な手続きで求められます。
具体例
$O(0, 0, 0)$，$A(1, 2, 3)$，$B(2, 3, 1)$，$C(1, -1, 6)$で定まる四面体の体積を求めよ。
解答
外積を用いる方法1
$\overrightarrow{OA}=(1,2,3)$，$\overrightarrow{OB}=(2,3,1)$より，
\begin{align}
\overrightarrow{OA}\times \overrightarrow{OB} &=
\left(
\begin{vmatrix}
2 & 3\\
3 & 1
\end{vmatrix},
\begin{vmatrix}
3 & 1\\
1 & 2
\end{vmatrix},
\begin{vmatrix}
1 & 2\\
2 & 3
\end{vmatrix}
\right)
= (-7,5,-1)
\end{align}
\overrightarrow{OA}\times \overrightarrow{OB} &=
\left(
\begin{vmatrix}
2 & 3\\
3 & 1
\end{vmatrix},
\begin{vmatrix}
3 & 1\\
1 & 2
\end{vmatrix},
\begin{vmatrix}
1 & 2\\
2 & 3
\end{vmatrix}
\right)
= (-7,5,-1)
\end{align}
となります。これより，
\begin{align}
\triangle OAB
&= \frac{1}{2} |\overrightarrow{OA}\times \overrightarrow{OB}|
= \frac{\sqrt{(-7)^{2}+5^{2}+(-1)^{2}}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{2}
\end{align}
\triangle OAB
&= \frac{1}{2} |\overrightarrow{OA}\times \overrightarrow{OB}|
= \frac{\sqrt{(-7)^{2}+5^{2}+(-1)^{2}}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{2}
\end{align}
が得られます。平面$OAB$の方程式は$-7x+5y-z=0$となることに注意すると，点$C$と平面$OAB$の距離$h$は
\begin{align}
h &=
\frac{7\cdot 1-5\cdot(-1)+6+0}{\sqrt{7^{2}+(-5)^{2}+1^{2}}}
= \frac{18}{5\sqrt{3}}
\end{align}
h &=
\frac{7\cdot 1-5\cdot(-1)+6+0}{\sqrt{7^{2}+(-5)^{2}+1^{2}}}
= \frac{18}{5\sqrt{3}}
\end{align}
となることから，四面体の体積は
\begin{align}
\frac{1}{3}\cdot \triangle OAB\cdot h &=\frac{1}{3}\cdot \frac{5\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{18}{5\sqrt{3}}
= 3
\end{align}
\frac{1}{3}\cdot \triangle OAB\cdot h &=\frac{1}{3}\cdot \frac{5\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{18}{5\sqrt{3}}
= 3
\end{align}
と求められます。
外積を用いる方法2
$\overrightarrow{OA}\times \overrightarrow{OB}=(-7,5,1)$および$\overrightarrow{OC}=(1, -1, 6)$より，四面体の体積は
\begin{align}
\frac{1}{6}|(-7,5,-1)\cdot(1, -1, 6)| &= \frac{18}{6} = 3
\end{align}
\frac{1}{6}|(-7,5,-1)\cdot(1, -1, 6)| &= \frac{18}{6} = 3
\end{align}
と求められます。
行列式を用いる方法
公式より，
\begin{align}
V
&= \mathrm{abs}
\left( \frac{1}{6}
\begin{vmatrix}
0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 2 & 3 & 1 \\
2 & 3 & 1 & 1 \\
1 & -1 & 6 & 1
\end{vmatrix}
\right)
= \mathrm{abs}
\left( \frac{1}{6}
(-1)^{1+4}\cdot 1\cdot
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 3 & 1 \\
1 & -1 & 6
\end{vmatrix}
\right)\\[0.7em]
&= \mathrm{abs}
\left( \frac{1}{6}
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & -1 & -5 \\
0 & -3 & 3
\end{vmatrix}
\right)
= \mathrm{abs}
\left( \frac{1}{6}
(-1)^{1+1}\cdot 1\cdot
\begin{vmatrix}
-1 & -5 \\
-3 & 3
\end{vmatrix}
\right)
= \frac{18}{6} = 3
\end{align}
V
&= \mathrm{abs}
\left( \frac{1}{6}
\begin{vmatrix}
0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 2 & 3 & 1 \\
2 & 3 & 1 & 1 \\
1 & -1 & 6 & 1
\end{vmatrix}
\right)
= \mathrm{abs}
\left( \frac{1}{6}
(-1)^{1+4}\cdot 1\cdot
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 3 & 1 \\
1 & -1 & 6
\end{vmatrix}
\right)\\[0.7em]
&= \mathrm{abs}
\left( \frac{1}{6}
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & -1 & -5 \\
0 & -3 & 3
\end{vmatrix}
\right)
= \mathrm{abs}
\left( \frac{1}{6}
(-1)^{1+1}\cdot 1\cdot
\begin{vmatrix}
-1 & -5 \\
-3 & 3
\end{vmatrix}
\right)
= \frac{18}{6} = 3
\end{align}
と求められます。
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