本記事では，数学検定1級で頻出のトピックについてまとめていきます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
スカラー三重積とベクトル三重積
$3$次元ベクトル$\va,\vb,\vc$に対し，
- スカラー三重積：$\va\cdot(\vb\times\vc)$
- ベクトル三重積：$\va\times\vb\times\vc$
という。
性質
スカラー三重積
- $\va\cdot(\vb\times\vc)$は$\va,\vb,\vc$が張る平行六面体の符号付き体積と等しい
- $\va\cdot(\vb\times\vc)=\vb\cdot(\vc\times\va)=\vc\cdot(\va\times\vb)$
- 次が成り立つ
\va\cdot(\vb\times\vc)=
\begin{vmatrix}
a_{x}&b_{x}&c_{x}\\
a_{y}&b_{y}&c_{y}\\
a_{z}&b_{z}&c_{z}
\end{vmatrix} =
\begin{vmatrix}
a_{x}&a_{y}&a_{z}\\
b_{x}&b_{y}&b_{z}\\
c_{x}&c_{y}&c_{z}
\end{vmatrix}
\end{align}
1.の証明
$|\vb\times\vc|$は$\vb$と$\vc$を$2$辺とする平行四辺形の面積と等しく，平行六面体の高さは$\va$の$\vb\times\vc$上への正射影の長さとなります。したがって，平行六面体の体積は
|\vb\times\vc|\cdot\frac{|\va\cdot(\vb\times\vc)|}{|\vb\times\vc|}
= |\va\cdot(\vb\times\vc)|
\end{align}
したがって，$\va\cdot(\vb\times\vc)$は$\va,\vb,\vc$が張る平行六面体の符号付き体積となります。
2.の証明
平行六面体の体積はどの平行四辺形を底面としてもよいため，1.より2.が示されます。
3.の証明
$A=(\va \vb \vc)$を第一列で余因子展開すると，
\det(A)
&= a_{x}
\begin{vmatrix}
b_{y}&c_{y}\\
b_{z}&c_{z}
\end{vmatrix}
-a_{y}
\begin{vmatrix}
b_{x}&c_{x}\\
b_{z}&c_{z}
\end{vmatrix}
+a_{z}
\begin{vmatrix}
b_{x}&c_{x}\\
b_{y}&c_{y}
\end{vmatrix}\\[0.7em]
&= a_{x}
\begin{vmatrix}
b_{y}&c_{y}\\
b_{z}&c_{z}
\end{vmatrix}
+a_{y}
\begin{vmatrix}
b_{z}&c_{z}\\
b_{x}&c_{x}
\end{vmatrix}
+a_{z}
\begin{vmatrix}
b_{x}&c_{x}\\
b_{y}&c_{y}
\end{vmatrix}\\[0.7em]
&= a_{x}(b_{y}c_{z}-b_{z}c_{y})+a_{y}(b_{z}c_{x}-b_{x}c_{z})+a_{z}(b_{x}c_{y}-b_{y}c_{z})\\[0.7em]
&= \va\cdot(\vb\times\vc)
\end{align}
となります。したがって，行列式は転置をとっても等しくなることから
\va\cdot(\vb\times\vc) =
\begin{vmatrix}
a_{x}&b_{x}&c_{x}\\
a_{y}&b_{y}&c_{y}\\
a_{z}&b_{z}&c_{z}
\end{vmatrix} =
\begin{vmatrix}
a_{x}&a_{y}&a_{z}\\
b_{x}&b_{y}&b_{z}\\
c_{x}&c_{y}&c_{z}
\end{vmatrix}
\end{align}
が得られます。
ベクトル三重積
- $\va\times(\vb\times\vc)=(\va\cdot\vc)\vb-(\va\cdot\vb)\vc$
- $\va\times(\vb\times\vc)+\vb\times(\vc\times\va)+\vc\times(\va\times\vb)=\vzero$
1.の証明
$\va\times(\vb\times\vc)$は「$\vb$と$\vc$に垂直なベクトル」に垂直なベクトルであることから，$\vb$と$\vc$が張る平面上のベクトルとなるため，定数$\mu,\nu$を用いて
\va\times(\vb\times\vc) = \mu\vb + \nu\vc
\end{align}
と表されます。$\va\times(\vb\times\vc)$は$\va$にも垂直であるから
\va\cdot(\mu\vb + \nu\vc) = \mu\va\cdot\vb + \nu\va\cdot\vc = \vzero
\end{align}
となるため，$\mu=-\lambda(\va\cdot\vc),\nu=\lambda(\va\cdot\vb)$とおくことができ，
\va\times(\vb\times\vc) = \lambda\left\{(\va\cdot\vb)\vc-(\va\cdot\vc)\vb\right\}
\end{align}
が得られます。この式は$(\va,\vb,\vc)=(\ve_{x},\ve_{y},\ve_{x})$を代入しても成り立つため，左辺について
\va\times(\vb\times\vc) = \ve_{x}\times\ve_{z} = \ve_{y}
\end{align}
となり，右辺について
\lambda\left\{(\va\cdot\vc)\vc-(\va\cdot\vb)\vb\right\}
= \lambda\vc
\end{align}
となるため，$\lambda=1$が得られます。よって，$\va\times(\vb\times\vc)=(\va\cdot\vc)\vb-(\va\cdot\vb)\vc$が示されました。
2.の証明
1.を利用することにより，
&\va\times(\vb\times\vc)+\vb\times(\vc\times\va)+\vc\times(\va\times\vb)\notag\\[0.7em]
&= (\va\cdot\vc)\vb-(\va\cdot\vb)\vc
+(\vb\cdot\va)\vc-(\vb\cdot\vc)\va
+(\vc\cdot\vb)\va-(\vc\cdot\va)\vb\\[0.7em]
&= 0
\end{align}
が示されます。
注意
外積では結合法則が成り立ちません。具体的には，
(\va\times\vb)\times\vc\neq \va\times(\vb\times\vc)
\end{align}
となりますが，これはベクトル三重積の性質1.からも分かります。
- $(\va\times\vb)\times\vc$：$\va$と$\vb$が張る平面上のベクトル
- $\va\times(\vb\times\vc)$：$\vb$と$\vc$が張る平面上のベクトル
$\va\times\vb\times\vc$という表記はどちらの外積から計算すればよいか分からず不適切です。
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