本記事では，数学検定1級で頻出のトピックについてまとめていきます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
二次形式の符号
二次形式の符号は係数行列として定義される。
係数行列の符号は首座小行列式による符号の判別方法を利用すると便利です。
具体例
次の二次形式の符号を判定せよ。
\begin{align}
f(x_{1},x_{2},x_{3}) &= -2x_{1}^{2}-4x_{2}^{2}-6x_{3}^{2}+2x_{1}x_{2}+2x_{1}x_{3}+2x_{2}x_{3}
\end{align}
f(x_{1},x_{2},x_{3}) &= -2x_{1}^{2}-4x_{2}^{2}-6x_{3}^{2}+2x_{1}x_{2}+2x_{1}x_{3}+2x_{2}x_{3}
\end{align}
解答
与えられた二次形式の係数行列は
\begin{align}
A &=
\begin{pmatrix}
-2 & 1 & 1\\
1 & -4 & 1\\
1 & 1 & -6
\end{pmatrix}
\end{align}
A &=
\begin{pmatrix}
-2 & 1 & 1\\
1 & -4 & 1\\
1 & 1 & -6
\end{pmatrix}
\end{align}
となります。$1$次首座小行列式は
\begin{align}
|-2|
&= -2 < 0
\end{align}
|-2|
&= -2 < 0
\end{align}
となり，$2$次首座小行列式は
\begin{align}
\begin{vmatrix}
-2 & 1\\
1 & -4
\end{vmatrix}
&= 7 > 0
\end{align}
\begin{vmatrix}
-2 & 1\\
1 & -4
\end{vmatrix}
&= 7 > 0
\end{align}
となり，$3$次首座小行列式は
\begin{align}
\begin{vmatrix}
-2 & 1 & 1\\
1 & -4 & 1\\
1 & 1 & -6
\end{vmatrix}
&= -34 < 0
\end{align}
\begin{vmatrix}
-2 & 1 & 1\\
1 & -4 & 1\\
1 & 1 & -6
\end{vmatrix}
&= -34 < 0
\end{align}
となります。したがって，$k$次首座小行列式について$(-1)^{k}$を掛けたものがすべて正となるため，この二次形式は負値となります。
コメント