本記事では，数学検定1級で頻出のトピックについてまとめていきます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
合成関数の偏微分
$z{=}f(x,y)$で$x{=}\varphi(t),y{=}\psi(t)$と表されるとき，$z$が$x,y$について偏微分可能でその偏導関数が連続，かつ$x,y$がそれぞれ$t$について微分可能ならば，合成関数の連鎖律より，
\begin{align}
\frac{dz}{dt}
&= \frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}
\end{align}
\frac{dz}{dt}
&= \frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}
\end{align}
となる。
変数が増えたときも同様に拡張できます。
具体例
次の合成関数$z$に対し，$dz/dt$を$t$で表せ。
\begin{align}
z = \tan^{-1}y/x,~x=t+\sin t,~y=1-\cos t
\end{align}
z = \tan^{-1}y/x,~x=t+\sin t,~y=1-\cos t
\end{align}
解答
合成関数の連鎖律および逆三角関数の微分公式より，
\begin{align}
\frac{dz}{dt}
&= \frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}\\[0.7em]
&= \frac{1}{(y/x)^{2}+1}\cdot \left(-\frac{y}{x^{2}}\right)\cdot (1+\cos t)
+ \frac{1}{(y/x)^{2}+1}\cdot \left(\frac{1}{x}\right)\cdot \sin t\\[0.7em]
&= \frac{-y(1+\cos t)+x\sin t}{x^{2}+y^{2}}
= \frac{-(1-\cos^{2}t)+t\sin t+\sin^{2}t}{x^{2}+y^{2}}\\[0.7em]
&= \frac{t\sin t}{t^{2}+2t\sin t-2\cos t + 2}
\end{align}
\frac{dz}{dt}
&= \frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}\\[0.7em]
&= \frac{1}{(y/x)^{2}+1}\cdot \left(-\frac{y}{x^{2}}\right)\cdot (1+\cos t)
+ \frac{1}{(y/x)^{2}+1}\cdot \left(\frac{1}{x}\right)\cdot \sin t\\[0.7em]
&= \frac{-y(1+\cos t)+x\sin t}{x^{2}+y^{2}}
= \frac{-(1-\cos^{2}t)+t\sin t+\sin^{2}t}{x^{2}+y^{2}}\\[0.7em]
&= \frac{t\sin t}{t^{2}+2t\sin t-2\cos t + 2}
\end{align}
が得られます。
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