本記事では，数学検定1級で頻出のトピックについてまとめていきます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
1の3乗根
$x^{3}=1$を変形すると次のようになる。
(x-1)(x^{2}+x+1)
\end{align}
$x^{2}+x+1=0$を解くと$\displaystyle x=\frac{-1\pm\sqrt{3}}{2}$となるため，$1$の$3$乗根を$\omega$とおくと，
\omega = 1,\frac{-1\pm\sqrt{3}}{2}\label{omega}
\end{align}
が得られる。$\omega$は二次方程式を解かずとも求めることができる。一般に$1$の$n$乗根は複素数平面上で$(1,0)$を頂点の$1$つとした正$n$角形になるため，$n=3$のときは$(1,0)$を反時計回りに$2/3\pi$回転させた点と$4/3\pi$回転させた点が残りの頂点となる。$2/3\pi$の回転を表す複素数は
z = \cos\frac{2}{3}\pi+\sin\frac{2}{3}\pi = \frac{-1+\sqrt{3}}{2}
\end{align}
であるから，$1$の$3$乗根$\omega$は$1,z,z^{2}$となり，先ほどの結果と一致する。
$\omega$の性質
$\omega$は具体的に式($\ref{omega}$)のように表現できるほか，
\omega^{2}+\omega+1=0
\end{align}
を満たす点が非常に特徴的です。
この性質は$x$の係数がすべて$1$で構成される多項式の因数分解に活用できます。3次方程式の解法（カルダノの公式）でも活躍します。
例題1
$f(x)=x^{8}+x^{7}+1$を因数分解せよ。
$\omega^{3}=1$および$\omega^{2}+\omega+1=0$に注意すると
\begin{cases}
f(\omega)=\omega^{8}+\omega^{7}+1=\omega^{2}+\omega+1=0\\[0.7em]
f(\omega^{2})=\omega^{16}+\omega^{14}+1=\omega^{2}+\omega+1=0
\end{cases}
\end{align}
となるため，因数定理より$f(x)$は$(x-\omega)$と$(x-\omega^{2})$を因数に持ちます。すなわち，
(x-\omega)(x-\omega^{2})=x^{2}-(\omega^{2}+\omega)x+\omega^{3}=x^{2}+x+1
\end{align}
を因数に持つため，割り算を行うことにより
f(x) &= (x^{2}+x+1)(x^{3}-x+1)
\end{align}
と因数分解することができます。
割り算は筆算を利用しましょう。
例題2
次の式
f(x) &= (x^{100}+1)^{100}+(x^{2}+1)^{100}+1
\end{align}
は，$x^{2}+x+1$で割り切れるか。
$x^{2}+x+1$で割り切れるならば$x=\omega$を因数に持つため，$f(\omega)=0$を示すことができれば$f(x)$は$x^{2}+x+1$で割り切れることを示せます。実際，$\omega^{3}=1$および$\omega^{2}+\omega+1=0$に注意すると
f(\omega)
&= (\omega^{100}+1)^{100}+(\omega^{2}+1)^{100}+1\\[0.7em]
&= (\omega+1)^{100}+(-\omega)^{100}+1\\[0.7em]
&= (-\omega^{2})^{100}+(-\omega)^{100}+1\\[0.7em]
&= \omega^{200}+\omega^{100}+1\\[0.7em]
&= \omega^{2}+\omega+1 = 0
\end{align}
となるため，$f(x)$は$x^{2}+x+1$で割り切れることが示されました。
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