【数検1級対策】線形写像の判定方法

2024年6月23日

本記事では，数学検定1級で頻出のトピックについてまとめていきます。

初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。

線形写像の判定方法

$V, W$ を $R$ 上のベクトル空間とし，写像 $f : V \to W$ が

\begin{aligned} (1) & f (k a + l b) & = k f (a) + l f (b) (a, b \in V, k, l \in R) \end{aligned}

を満たすとき， $f$ は $V$ から $W$ への線形写像という。

実ベクトル空間の部分空間と同様の感覚で判定できます。

\begin{array}{r} (2) & f : R^{2} ⟶ R^{3}, (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}) ⟼ (\begin{array}{c} x_{1} + x_{2} \\ x_{1} x_{2} \\ 0 \end{array}) \end{array}

$x = (x_{1}, x_{2})^{T}$ ， $y = (y_{1}, y_{2})^{T}$ とおくと，

\begin{aligned} (3) & f (k x + l y) & = (\begin{array}{c} k (x_{1} + x_{2}) + l (y_{1} + y_{2}) \\ (k x_{1} + l x_{2}) (k y_{1} + k y_{2}) \\ 0 \end{array}) \end{aligned}

が得られますが，一方で

\begin{aligned} (4) & k f (x) + l f (y) & = (\begin{array}{c} k (x_{1} + x_{2}) + l (y_{1} + y_{2}) \\ k x_{1} x_{2} + l y_{1} y_{2} \\ 0 \end{array}) \end{aligned}

が得られ， $f (k x + l y) \neq k f (x) + l f (y)$ となるため $f$ は線形写像ではありません。

\begin{array}{r} (5) & f : R^{3} ⟶ R^{2}, (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) ⟼ (\begin{array}{c} 2 x_{1} + x_{2} + x_{3} \\ x_{2} - x_{3} \end{array}) \end{array}

$x = (x_{1}, x_{2}, x_{3})^{T}$ ， $y = (y_{1}, y_{2}, y_{3})^{T}$ とおくと，

\begin{aligned} (6) & f (k x + l y) & = (\begin{array}{c} k (2 x_{1} + x_{2} + x_{3}) + l (2 y_{1} + y_{2} + y_{3}) \\ k (x_{2} - x_{3}) + l (y_{2} - y_{3}) \end{array}) \\ (7) & = k (\begin{array}{c} 2 x_{1} + x_{2} + x_{3} \\ x_{2} - x_{3} \end{array}) + l (\begin{array}{c} 2 y_{1} + y_{2} + y_{3} \\ y_{2} - y_{3} \end{array}) \\ (8) & = k f (a) + l f (b) \end{aligned}

となるため， $f$ は線形写像です。

\begin{array}{r} (9) & f : R^{3} ⟶ R^{1}, x ⟼ a \cdot x \end{array}

ただし， $a$ は $0$ でない $R^{3}$ の元である。

内積の線形性より，

\begin{aligned} (10) & f (k x + l y) & = a \cdot (k x + l y) = k a \cdot x + l a \cdot y = k f (a) + l f (b) \end{aligned}

となるため， $f$ は線形写像です。

シェアはこちらからお願いします！