本記事では，数学検定1級で頻出のトピックについてまとめていきます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
線形写像の判定方法
$V,W$を$\mR$上のベクトル空間とし，写像$f:~V\rarr W$が
\begin{align}
f(k\va + l\vb) &= kf(\va)+lf(\vb)\quad(\va,\vb\in V,~k,l\in\mR)
\end{align}
f(k\va + l\vb) &= kf(\va)+lf(\vb)\quad(\va,\vb\in V,~k,l\in\mR)
\end{align}
を満たすとき，$f$は$V$から$W$への線形写像という。
実ベクトル空間の部分空間と同様の感覚で判定できます。
具体例とその解答
例1
\begin{align}
f:~\mR^{2}\longrarr\mR^{3},\quad
\begin{pmatrix}
x_{1}\\
x_{2}
\end{pmatrix}
\longmapsto
\begin{pmatrix}
x_{1} + x_{2}\\
x_{1}x_{2}\\
0
\end{pmatrix}
\end{align}
f:~\mR^{2}\longrarr\mR^{3},\quad
\begin{pmatrix}
x_{1}\\
x_{2}
\end{pmatrix}
\longmapsto
\begin{pmatrix}
x_{1} + x_{2}\\
x_{1}x_{2}\\
0
\end{pmatrix}
\end{align}
$\vx=(x_{1},x_{2})^{T}$，$\vy=(y_{1},y_{2})^{T}$とおくと，
\begin{align}
f(k\vx+l\vy)
&=
\begin{pmatrix}
k(x_{1}+x_{2}) + l(y_{1}+y_{2})\\
(kx_{1}+lx_{2})(ky_{1}+ky_{2})\\
0
\end{pmatrix}
\end{align}
f(k\vx+l\vy)
&=
\begin{pmatrix}
k(x_{1}+x_{2}) + l(y_{1}+y_{2})\\
(kx_{1}+lx_{2})(ky_{1}+ky_{2})\\
0
\end{pmatrix}
\end{align}
が得られますが，一方で
\begin{align}
kf(\vx)+lf(\vy)
&=
\begin{pmatrix}
k(x_{1}+x_{2}) + l(y_{1}+y_{2})\\
kx_{1}x_{2}+ly_{1}y_{2}\\
0
\end{pmatrix}
\end{align}
kf(\vx)+lf(\vy)
&=
\begin{pmatrix}
k(x_{1}+x_{2}) + l(y_{1}+y_{2})\\
kx_{1}x_{2}+ly_{1}y_{2}\\
0
\end{pmatrix}
\end{align}
が得られ，$f(k\vx+l\vy)\neq kf(\vx)+lf(\vy)$となるため$f$は線形写像ではありません。
例2
\begin{align}
f:~\mR^{3}\longrarr\mR^{2},\quad
\begin{pmatrix}
x_{1}\\
x_{2}\\
x_{3}
\end{pmatrix}
\longmapsto
\begin{pmatrix}
2x_{1}+x_{2}+x_{3}\\
x_{2}-x_{3}
\end{pmatrix}
\end{align}
f:~\mR^{3}\longrarr\mR^{2},\quad
\begin{pmatrix}
x_{1}\\
x_{2}\\
x_{3}
\end{pmatrix}
\longmapsto
\begin{pmatrix}
2x_{1}+x_{2}+x_{3}\\
x_{2}-x_{3}
\end{pmatrix}
\end{align}
$\vx=(x_{1},x_{2},x_{3})^{T}$，$\vy=(y_{1},y_{2},y_{3})^{T}$とおくと，
\begin{align}
f(k\vx+l\vy)
&=
\begin{pmatrix}
k(2x_{1}+x_{2}+x_{3})+l(2y_{1}+y_{2}+y_{3})\\
k(x_{2}-x_{3})+l(y_{2}-y_{3})
\end{pmatrix}\\[0.7em]
&=
k
\begin{pmatrix}
2x_{1}+x_{2}+x_{3}\\
x_{2}-x_{3}
\end{pmatrix}+
l
\begin{pmatrix}
2y_{1}+y_{2}+y_{3}\\
y_{2}-y_{3}
\end{pmatrix}\\[0.7em]
&= kf(\va)+lf(\vb)
\end{align}
f(k\vx+l\vy)
&=
\begin{pmatrix}
k(2x_{1}+x_{2}+x_{3})+l(2y_{1}+y_{2}+y_{3})\\
k(x_{2}-x_{3})+l(y_{2}-y_{3})
\end{pmatrix}\\[0.7em]
&=
k
\begin{pmatrix}
2x_{1}+x_{2}+x_{3}\\
x_{2}-x_{3}
\end{pmatrix}+
l
\begin{pmatrix}
2y_{1}+y_{2}+y_{3}\\
y_{2}-y_{3}
\end{pmatrix}\\[0.7em]
&= kf(\va)+lf(\vb)
\end{align}
となるため，$f$は線形写像です。
例3
\begin{align}
f:~\mR^{3}\longrarr\mR^{1},\quad
\vx
\longmapsto
\va\cdot \vx
\end{align}
f:~\mR^{3}\longrarr\mR^{1},\quad
\vx
\longmapsto
\va\cdot \vx
\end{align}
ただし，$\va$は$\vzero$でない$\mR^{3}$の元である。
内積の線形性より，
\begin{align}
f(k\vx+l\vy)
&= \va\cdot(k\vx+l\vy) = k\va\cdot\vx + l\va\cdot\vy = kf(\va)+lf(\vb)
\end{align}
f(k\vx+l\vy)
&= \va\cdot(k\vx+l\vy) = k\va\cdot\vx + l\va\cdot\vy = kf(\va)+lf(\vb)
\end{align}
となるため，$f$は線形写像です。
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