本記事では，数学検定1級で頻出のトピックについてまとめていきます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
実ベクトル空間の部分空間
$\mR$上のベクトル空間$V$の空でない部分集合$W$が
\begin{align}
\va,\vb\in W,~k,l\in\mR ~\Rarr~ k\va + l\vb \in W
\end{align}
\va,\vb\in W,~k,l\in\mR ~\Rarr~ k\va + l\vb \in W
\end{align}
を満たすとき，$W$を$V$の部分空間という。ただし，$W$は必ず$\vzero$を含む。
$\vzero$が属さない集合は$V$の部分空間とはなりません。
具体例
下記で定義される$W$が実ベクトル空間$V$の部分空間であるか示しなさい。
- $W = \left\{(x, y)^{T}|x\geq y\right\}$
- $W = \left\{(x, y)^{T}|3x=5y\right\}$
- $W = \left\{(x, y, z)^{T}|x+z=2y\right\}$
- $W = \left\{(x, y, z)^{T}|x+y+z=1\right\}$
解答
例1
- $W = \left\{(x, y)^{T}|x\geq y\right\}$
$\va=(0,1)$とおくと，$(-1)\cdot \va=(0, -1)\notin W$となるため，$W$は$V$の部分空間ではありません。
例2
- $W = \left\{(x, y)^{T}|3x=5y\right\}$
$\va=(x_{1},y_{1})\in W$，$\vb=(x_{2},y_{2})\in W$とおくと，$W$の定義より
\begin{align}
3x_{1} = 5y_{1},\quad 3x_{2} = 5y_{2}
\end{align}
3x_{1} = 5y_{1},\quad 3x_{2} = 5y_{2}
\end{align}
となります。ここで$k\va + l\vb = (kx_{1}+lx_{2}, ky_{1}+ly_{2})$において，
\begin{align}
3(kx_{1}+lx_{2})
&= k\cdot 3x_{1}+l\cdot 3x_{2}
= k\cdot 5y_{1}+l\cdot 5y_{2}
= 5(ky_{1}+ly_{2})
\end{align}
3(kx_{1}+lx_{2})
&= k\cdot 3x_{1}+l\cdot 3x_{2}
= k\cdot 5y_{1}+l\cdot 5y_{2}
= 5(ky_{1}+ly_{2})
\end{align}
より，$k\va + l\vb\in W$となります。よって，$W$は$V$の部分空間です。
例3
- $W = \left\{(x, y, z)^{T}|x+z=2y\right\}$
$\va=(x_{1},y_{1},z_{1})\in W$，$\vb=(x_{2},y_{2},z_{2})\in W$とおくと，$W$の定義より
\begin{align}
x_{1} + z_{1} = 2y_{1},\quad x_{2} + z_{2} = 2y_{2}
\end{align}
x_{1} + z_{1} = 2y_{1},\quad x_{2} + z_{2} = 2y_{2}
\end{align}
となります。ここで$k\va + l\vb = (kx_{1}+lx_{2}, ky_{1}+ly_{2}, kz_{1}+lz_{2})$において，
\begin{align}
(kx_{1}{+}lx_{2}) {+} (kz_{1}{+}lz_{2})
&= k(x_{1}{+}z_{1}) {+} l(x_{2}{+}z_{2})
= k(2y_{1}) {+} l(2y_{2})
= 2(ky_{1}{+}ly_{2})
\end{align}
(kx_{1}{+}lx_{2}) {+} (kz_{1}{+}lz_{2})
&= k(x_{1}{+}z_{1}) {+} l(x_{2}{+}z_{2})
= k(2y_{1}) {+} l(2y_{2})
= 2(ky_{1}{+}ly_{2})
\end{align}
より，$k\va + l\vb\in W$となります。よって，$W$は$V$の部分空間です。
例4
- $W = \left\{(x, y, z)^{T}|x+y+z=1\right\}$
$(0,0,0)\notin W$より，$W$は$V$の部分空間ではありません。
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